2.4有限群不可约表示特征标表

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.4 有限群不可约表示的特征标表,一、特征标,是研究群表示的重要且有效的工具,即表示矩阵D(R)对角线上元素和为元素R的特征标。,1.,定义,设D(G)是群G的一个表示，表示D(G)的特征标记为,(G),其中群元素R的表示矩阵D(R)对应的特征标,(R)为,3.,有限群的特征标,设有限群G：阶为g,有n个不等价不可约表示D,i,(G),i=1,2,.,n,D,i,(G)的维数为m,i,，特征标为,i,(G),上面特征标的性质并不要求群G是有限群，是所有群特征标的普遍性质，下面给出有限群特征标的性质,（上节涉及的定理和推论）,2.,性质,等价表示的特征标相等,同一表示中，共轭元素特征标相等,特征标是类的函数，即同类元素特征标相等,恒元的特征标等于表示的维数,若恒元的表示D(E)的维数为m，则,(E)=TrD(E),mm,=m,1),正交关系,对群元素求和，特征标作为群空间矢量,对类求和，特征标作为类空间矢量（加上归一化系数）,2),完备性,特征标构成类空间完备基，任何类函数都可按其展开,3),特征标内积,可约表示,约化为几个不可约表示的过程中，有的不可约表示不止出现一次（重数）,不可约表示,：D(R)=D,j,(R),(R)=,j,(R),特征标内积为,表示不可约的充要条件,注 意,则表示不可约的充要条件为,有些文献上定义特征标内积为,4),有限群不等价不可约表示的,个数,等于群的,类数,维数的平方和,等于群的,阶数,二、特征标表,1.,定义,把有限群G的所有不等价不可约表示的特征标，,作为类的函数,列出一个表，称为群G的特征标表。,建立特征标表的原因,在给定的线性空间，群表示的矩阵形式不唯一,依赖于基的选择，甚至依赖于基的排序,但众多的表示是定义在同一线性空间，可以通过相似变换联系，即都是等价的,虽然群的表示矩阵不唯一，但是矩阵的迹（特征标）在相似变换下不变（等价的表示特征标对应相等）,因此，表示的特征标成为表示的特征，与基的选择无关,群论的主要任务就是对于各种典型的群，特别是物理中常见的对称变换群，寻找它们所有不等价不可约表示，研究可约表示的约化方法,对有限群，我们可以先找到群的所有不等价不可约表示的特征标，列成特征标表，再找不可约表示的表示矩阵，可使问题简化,有限群不等价不可约表示的特征标都满足前面列出的性质，那些性质是写特征标表的依据，也是检验表是否正确的依据,1）复共轭表示,将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭D(R)*，它们的集合也构成原群的表示，称为原表示的复共轭表示,互为复共轭的表示，它们的特征标互为复共轭,2）自共轭表示,若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X,-1,D(R)X，则称为自共轭表示,自共轭表示的特征标必为实数,3）群G的两个不可约表示的直乘仍是G的一个表示,特别是：,其中一个是一维表示，直乘仍是不可约表示,上面的方法有助于根据已知不可约表示寻找新的不可约表示,2.,特征标表的构成,表头：,行：,群包含的几个类,设有g,c,个类，第,类记为,前面写上类元素的个数n(,),列：,群的几个不等价不可约表示,有限群不等价不可约表示个数=g,c,表中：,每一行,是一个不可约表示D,i,对应不同类 的特征标,i,（,=1,.,g,c,）,每一列,是群每类元素,在不同表示Di中的特征标,i,（i=1,.,g,c,）,特征标表是一个正方形表：g,c,g,c,1,2,g,c,由于特征标的正交关系，因此特征标表的任两行（列）满足下列正交关系：,正交关系既是写特征标表的依据，也是检验结果的依据,写一个群的特征标表，通常表内,第一行：给出恒等表示D,1,的特征标,1,=1，,即,表的第一行为 1,第一列：给出恒元E表示的特征标,i,(E)=m,i,，,即,表的第一列为表示的维数,3.,N阶循环群的特征标表,1）N阶循环群的标准形式：,C,N,=R,R,2,.,R,N,=E,阿贝尔群，各元素间乘积可对易,2）,阿贝尔群每个元素自成一类，,因此，N阶循环群有,N个类,3）有限群不等价不可约表示的维数平方和=群的阶,m,1,2,+m,2,2,+.+m,N,2,=N，则m,1,=m,2,=.=m,N,=1,即,每个表示都为一维表示,4）表示矩阵必须满足群元素的乘积关系,R,D(R);SD(S)RSD(R)D(S),设D是C,N,的一个不可约表示，则,m,i,=1，都是一维表示,R,N,=E,共有N个值，L=0 对应 D,1,(E)=1 恒等表示,N阶循环群有N个D(R)值，每一个值对应一个不等价不可约表示，为方便，可写成,有的文献取+,对应转动角度2,/N,以4阶循环群为例,C4=R,R,2,R,3,R,4,=E,将其对应到转动操作，相当于每个操,作相继转过2,/N,=C(,/2),C(,),C(3,/2),C(2,),C,4,群的特征标表：,第一行：,给出恒等表示的特征标,第一列：,给出恒元在各表示中的特征标（表示维数）,表中各值：,D,2,2,=exp(-(2-1),i/2)=cos(,/2,)-isin(,/2,)=-i,D,2,3,=exp(-(2-1),i)=cos(,)-isin(,)=-1,E=C(2,),1C(,/2),1C(,),1C(3,/2),D,1,D,2,D,3,D,4,1,1,1,1,1,1,1,-i,-1,j=1,j=2,j=3,j=4,E=C(2,),1C(,/2),1C(,),1C(3,/2),D,1,1,1,1,1,D,2,1,-i,-1,i,D,3,1,-1,1,-1,D,4,1,i,-1,-i,由于N阶循环群每个表示都是一维，因此特征标本身就是表示,用正交关系验证：,4.,正三角形对称群D,3,的特征标表,1）最简单的非,阿贝尔群（6个元素：E,D,F,A,B,C）,2）,分类：3类,（E）（E，F）（A，B，C）,D,3,群有3个不等价不可约表示,3）,表示的维数,m,1,2,+m,2,2,+m,3,2,=6 则 1,2,+1,2,+2,2,=6,即 2个一维表示，1个二维表示,4）,写特征标表,1E,2C(,D,F,),3C(,A,B,C,),D,1,D,2,D,3,恒等表示,一维表示,二维表示,1,1,1,1,2,1E,2C(,D,F,),3C(,A,B,C,),D,1,1,1,1,D,2,1,D,3,2,一维表示 D(R)=,(R),+1 +1 +1,+1 -1 -1,+1,第1行与第2行的正交关系：,1*1+21*1+31*,A,=0,-1,第1列与第2列的正交关系：,1*1+1*1+2*,D,=0,-1,0,5）,写表示,对一维表示：特征标就是表示,对二、三维表示：表示矩阵可用计算坐标变换矩阵的方法,（表示矩阵形式不唯一，与基的选取有关）,实际上，常见群的不可约表示的特征标表、表示矩阵的标准形式，不可约表示的直乘表示分解等是数学教的任务，都可以在有关文献上查到，物理工作者的主要任务是把它们应用到具体的物理问题中区,但实际问题多种多样，要能灵活运用数学家的计算结果，理解数学家计算的基本思想也是十分重要的，因此，我们上面介绍比较简单的群的不等价不可约表示特征标的计算方法，希望大家能对群表示理论有一个直观的概念,练 习,1、N=2-7 的N阶循环群特征标表,2、正方形对称群的特征标表,