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*,*,*,第,3,章 导数及其应用,习题课,导数的应用,1,1.,能利用导数研究函数的单调性,.,2.,理解函数的极值、最值与导数的关系,.,3.,掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用,学习目标,2,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,3,知识梳理,4,知识点一,函数的单调性与其导数的关系,定义在区间,(,a,，,b,),内的函数,y,f,(,x,),增,减,f,(,x,),的正负,f,(,x,),的单调性,f,(,x,)0,单调递,f,(,x,)0,f,(,x,)0,f,(,x,)0,6,1.,求函数,y,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内的极值,.,2.,将函数,y,f,(,x,),的,与端点处的函数值,比较，其中,的一个是最大值，,的一个是最小值,.,知识点三,函数,y,f,(,x,),在,a,，,b,上最大值与最小值的求法,极值,f,(,a,),，,f,(,b,),最大,最小,7,题型探究,8,类型一,数形结合思想的应用,例,1,已知,f,(,x,),是,f,(,x,),的导函数，,f,(,x,),的图象如图所示，则,f,(,x,),的图象只可能是,_.,答案,解析,9,10,解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：,(1),对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与,x,轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的,.,(2),对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点,.,反思与感悟,11,跟踪训练,1,设函数,f,(,x,),在,R,上可导，其导函数为,f,(,x,),，且函数,f,(,x,),在,x,2,处取得极小值，则函数,y,xf,(,x,),的图象可能是,_.,答案,解析,12,函数,f,(,x,),在,R,上可导，其导函数为,f,(,x,),，,且函数,f,(,x,),在,x,2,处取得极小值，,当,x,2,时，,f,(,x,)0,；,当,x,2,时，,f,(,x,),0,；,当,x,2,时，,f,(,x,)0.,当,2,x,0,时，,xf,(,x,)0,；,当,x,2,时，,xf,(,x,),0,；,当,x,0.,由此观察四个选项，故,符合,.,13,类型二,构造函数求解,命题角度,1,比较函数值的大小,b,c,0,时，,xf,(,x,),f,(,x,)0,；,当,x,0.,g,(,x,),在,(0,，,),上是减函数,.,15,g,(,x,),是偶函数，,16,反思与感悟,本例中根据条件构造函数,g,(,x,),xf,(,x,),，通过,g,(,x,),确定,g,(,x,),的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数,.,17,a,b,c,答案,解析,18,令,g,(,x,)0,，解得,x,e,；,令,g,(,x,)e,，,g,(,x,),在,(0,，,e),上递增，在,(e,，,),上递减，,而,543e,，,g,(5),g,(4),g,(3),，,19,命题角度,2,求解不等式,(0,，,),例,3,定义域为,R,的可导函数,y,f,(,x,),的导函数,f,(,x,),，满足,f,(,x,)2e,x,的解集为,_.,答案,解析,f,(,x,)0,，即函数,g,(,x,),单调递增,.,f,(0),2,，,g,(0),f,(0),2,，则不等式等价于,g,(,x,),g,(0).,函数,g,(,x,),单调递增，,x,0,，,不等式的解集为,(0,，,).,20,反思与感悟,21,跟踪训练,3,设函数,f,(,x,),是定义在,R,上的偶函数，,f,(,x,),为其导函数,.,当,x,0,时，,f,(,x,),x,f,(,x,)0,，且,f,(1),0,，则不等式,x,f,(,x,)0,的解集为,_.,(1,，,),答案,解析,22,令,g,(,x,),xf,(,x,).,当,x,0,时，,g,(,x,),(,xf,(,x,),f,(,x,),xf,(,x,)0,，,g,(,x,),在,(0,，,),上单调递增,.,又,f,(,x,),是偶函数，即,f,(,x,),f,(,x,),，,则,g,(,x,),(,x,),f,(,x,),xf,(,x,),g,(,x,),，,g,(,x,),是奇函数，,g,(,x,),在,R,上单调递增,.,f,(1),0,，则,g,(1),1,f,(1),0,，,由,xf,(,x,)0,，即,g,(,x,),g,(1),，得,x,1,，,xf,(,x,)0,的解集为,(1,，,).,23,命题角度,3,利用导数证明不等式,例,4,已知,x,1,，证明不等式,x,1ln,x,.,证明,设,f,(,x,),x,1,ln,x,，,x,(1,，,),，,即函数,f,(,x,),在,(1,，,),上是增函数，,又,x,1,，所以,f,(,x,),f,(1),1,1,ln 1,0,，,即,x,1,ln,x,0,，所以,x,1ln,x,.,24,反思与感悟,利用函数的最值证明不等式的基本步骤,(1),将不等式构造成,f,(,x,)0(,或,0,时，,2,2,x,0,时，,e,x,e,0,1,，,f,(,x,),2(1,e,x,)0.,函数,f,(,x,),2,2,x,2e,x,在,(0,，,),上是减函数，,f,(,x,)0,时，,2,2,x,2e,x,0,，,2,2,x,2e,x,.,26,类型三,利用导数研究函数的极值与最值,例,4,已知函数,f,(,x,),x,3,ax,2,b,的图象上一点,P,(1,0),，且在点,P,处的切线与直线,3,x,y,0,平行,.,(1),求函数,f,(,x,),的解析式；,解答,因为,f,(,x,),3,x,2,2,ax,，曲线在,P,(1,0),处的切线斜率为,f,(1),3,2,a,，即,3,2,a,3,，,a,3.,又函数过,(1,0),点，即,2,b,0,，,b,2.,所以,a,3,，,b,2,，,f,(,x,),x,3,3,x,2,2.,27,(2),求函数,f,(,x,),在区间,0,，,t,(0,t,3),上的最大值和最小值；,解答,28,由,f,(,x,),x,3,3,x,2,2,，得,f,(,x,),3,x,2,6,x,.,由,f,(,x,),0,，得,x,0,或,x,2.,当,0,t,2,时，在区间,(0,，,t,),上，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,0,，,t,上是减函数，所以,f,(,x,),max,f,(0),2,，,f,(,x,),min,f,(,t,),t,3,3,t,2,2.,当,2,t,3,时，当,x,变化时，,f,(,x,),、,f,(,x,),的变化情况如下表：,x,0,(0,2),2,(2,，,t,),t,f,(,x,),0,0,f,(,x,),2,2,t,3,3,t,2,2,29,f,(,x,),min,f,(2),2,，,f,(,x,),max,为,f,(0),与,f,(,t,),中较大的一个,.,因为,f,(,t,),f,(0),t,3,3,t,2,t,2,(,t,3)0,，,所以,f,(,x,),max,f,(0),2.,30,(3),在,(1),的结论下，关于,x,的方程,f,(,x,),c,在区间,1,3,上恰有两个相异的实根，求实数,c,的取值范围,.,解答,31,令,g,(,x,),f,(,x,),c,x,3,3,x,2,2,c,，,则,g,(,x,),3,x,2,6,x,3,x,(,x,2).,当,x,1,2),时，,g,(,x,),0.,要使,g,(,x,),0,在,1,3,上恰有两个相异的实根，,即实数,c,的取值范围为,(,2,0.,32,反思与感悟,(1),求极值时一般需确定,f,(,x,),0,的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点,.,(2),求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得,.,33,跟踪训练,5,已知函数,f,(,x,),ax,3,(,a,1),x,2,48(,a,2),x,b,的图象关于原点成中心对称,.,(1),求,a,，,b,的值；,解答,34,函数,f,(,x,),的图象关于原点成中心对称，,则,f,(,x,),是奇函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,即,ax,3,(,a,1),x,2,48(,a,2),x,b,ax,3,(,a,1),x,2,48(,a,2),x,b,，,于是,2(,a,1),x,2,2,b,0,恒成立，,35,(2),求,f,(,x,),的单调区间及极值；,由,(1),得,f,(,x,),x,3,48,x,，,f,(,x,),3,x,2,48,3(,x,4)(,x,4),，,令,f,(,x,),0,，得,x,1,4,，,x,2,4,；令,f,(,x,)0,，得,4,x,0,，得,x,4.,f,(,x,),的递减区间为,(,4,4),，递增区间为,(,，,4),和,(4,，,),，,f,(,x,),极大值,f,(,4),128,，,f,(,x,),极小值,f,(4),128.,解答,36,(3),当,x,1,5,时，求函数的最值,.,由,(2),知，函数在,1,4,上单调递减，在,4,5,上单调递增，则,f,(4),128,，,f,(1),47,，,f,(5),115,，,函数的最大值为,47,，最小值为,128.,解答,37,当堂训练,38,1,2,3,4,5,1.,如果函数,y,f,(,x,),的导函数的图象如图所示，给出下列判断：,函数,y,f,(,x,),在区间,(4,5),内单调递增；,当,x,2,时，函数,y,f,(,x,),有极小值；,则上述判断中正确的是,_.(,填序号,),答案,解析,39,1,2,3,4,5,由导函数的图象知，,当,x,(,，,2),时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(2,4),时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,2,时，,f,(,x,),取极小值；,当,x,2,时，,f,(,x,),取极大值；,当,x,4,时，,f,(,x,),取极小值,.,所以只有,正确,.,40,1,2,3,4,5,f,(,x,),6,x,2,12,x,6,x,(,x,2),，,f,(,x,),在,x,0,2,上单调递减，在,2,0,上单调递增，,f,(,x,),的最大值为,f,(0),m,3,，,f,(,x,),的最小值为,f,(,2),16,24,3,37.,2.,已知,f,(,x,),2,x,3,6,x,2,m,(,m,为常数,),在,2,2,上有最大值,3,，则此函数在,2,2,上的最小值为,_.,答案,解析,37,41,1,2,3,4,5,3.,已知函数,f,(,x,),在,(,2,，,),内单调递减，则实数,a,的取值范围为,_.,答案,解析,42,1,2,3,4,5,由函数,f,(,x,),在,(,2,，,),内单调递减，,知,f,(,x,),0,在,(,2,，,),内恒成立，,43,1,2,3,4,5,4.,设,f,(,x,),、,g,(,x,),是定义在,R,上的恒大于,0,的可导函数，且,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,)0,，则当,a,x,f,(,b,),g,(,b,),；,f,(,x,),g,(,a,),f,(,a,),g,(,x,),；,f,(,x,),g,(,b,),f,(,b,),g,(,x,),；,f,(,x,),g,(,x,),f,(,a,),g,(,a,).,答案,解析,44,1,2,3,4,5,45,1,2,3,4,5,证明,设,f,(,x,),x,sin,x,(,x,0),，则,f,(,x,),1,cos,x,0,对,x,(0,，,),恒成立，,函数,f,(,x,),x,sin,x,在,(0,，,),上是单调增函数，,又,
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