第六章 三维问题的有限元法

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六章 三维问题的有限元法,6.1,三维问题的力学基础,一,.,三维问题的位移、应变和应力,三维问题的研究对象为具有,x,y,z,坐标的空间物体，即立体。这是实际中机械零件的真际情况。,空间任意点,(,x,y,z,),的位移,:,空间任意点,(,x,y,z,),的应变,:,空间任意点,(,x,y,z,),的应力,:,剪应力,(,切应力,),互等定律：,二,.,三维问题的几何,(,变形,),方程,三,.,三维问题的物理方程,(,广义,Hooke,定律,),也可表示成“应力,应变”的关系,泊松比,定义为,:D,弹性阵矩,表示成矩阵,:,6.2,三维有限元分析的四面体单元,思路,单元内任一点位移,单元内任一点应变,物理关系,插值函数,几何方程,一,.,单元划分,1.,四面体形状,三角形棱锥,2.,节点位移,每一节点有,x,y,z,三个方向位移，有,4,个节点，单元自由度为,12,第,i,节点的,x,方向位移,第,i,节点的,y,方向位移,第,i,节点的,z,方向位移,1-2-3-4,的顺序符合“右手系”,(i=1,2,3,4),1.,位移插值函数,有,12,个待定系数,与单元自由度相等,故系数能唯一确定。代入四个节点坐标及位移可解出系数。再代入插值函数，表示为：,二,.,形状函数,由几何,(,应变,),关系，可预见：单元内任一点的应变为常量,其中：,V,四面体体积,列中元素的代数余子式,形状函数,2.,形状函数矩阵,形状函数矩阵,N,三,.,几何矩阵（应变矩阵）及“单元内应变,节点位移”关系,取决于四个节点的坐标值，故为常量。,B,四面体单元几何,(,应变,),矩阵,式中：,结论：,四面体单元内任一点的应变为常量，故应力也为常量。与平面三角形三节点单元相似。,四,.,单元刚度矩阵,由单元刚度矩阵计算通式：,四面体体积,由于,B,、,D,矩阵中元素均为常量，故：,12,阶方阵,五,.,等效节点载荷,计算通式：,式中，,为非节点力作用范围。若,q,为体积力，则为体积分；若,q,为面力，则为面积分，如为集中力，则不需积分，,N,取集中力作用处的值,两种情况的简单处理：,1.,若四面体单元受均匀分布的体积力,(,如重力,),任一节点上的等效节点力,(,分量,)=,单元总体积力,(,分量,)/4,2.,若四面体单元某一面上,(,如,1-2-3,面,),受均匀分布的面力,(,如压力,),1,2,3,节点上的等效节点力,(,分量,)=1-2-3,面上的总面力,(,分量,)/3,