《模块微分方程》PPT课件

,模块四 微分方程,课题一 可分离变量的微分方程,课题二 一阶线形微分方程,课题三 二阶常系数齐次线性微分方程,可分离变量的微分方程,课 题 一,1.理解微分方程的概念;,2.理解微分方程解的概念;,教学目标,3.能够求出可分离变量的微分方程的,通解和特解。,课题提出,关于人口的增长，有一种理论认为：人口的增长率与当时的人口总数成正比我国人口统计的数据显示，1990年我国的人口总数约为11.6亿，且在此后的18年中，人口年平均增长率约为14,如果保持这个增长率不变，试确定人口总数与时间的函数关系式,R,=,R,（,t,）,，,并预测到2020年时我国的人口总数。,课题分析,根据导数的本质，“课题”中所谓的人口增长率就是人口总数对于时间的变化率 或,由“课题”中所给的条件“人口的增长率与当时的人口总数成正比”可得方程,且该方程还满足条件,含有未知函数,的导数的方程，如何求解呢？,相关知识,一、微分方程的定义,积分问题,微分方程问题,推广,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的,阶,。,实质,:,联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式。,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律。,解,设列车在制动后,t,秒行驶了,s,米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程。,即求,s,=s,(,t,)。,例 列车在平直路上以,使方程成为恒等式的函数。,微分方程的,解,1.通解:,微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。,如,通解,通解,二、微分方程的解,确定通解中任意常数的条件。,定解条件,2.特解:确定了通解中任意常数以后的解。,上例中,通解,:,特解,:,是微分方程,的解,的特解。,解,这说明,是方程的解。,是两个独立的任意常数,故它是方程的通解。,并求满足初始条件,例,验证函数,是微分方程,的解,的特解。,解,是方程的通解。,利用初始条件易得:,故所求特解为,并求满足初始条件,例,验证函数,函数,x,e,y,2,3,=,是微分方程,0,4,=,-,y,y,的什么解,?,中不含任意常数,故为微分方程的,特,解。,解,:,例,三、可分离变量的微分方程,具有如下形式的一阶微分方程:,称为可分离变量的微分方程。,1.定义,2,.可分离变量的微分方程的解法,1,.分离变量,2,.两边积分,可得到所求未知函数式,y=y,(,x,)，并含有一个任意常数,C,，即得通解。,3,.求出特解,的通解。,解,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数),或,说明:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解。,(此式含分离变量时丢失的解,y,=0,),例1,求微分方程,解,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数),故所求特解为,例2,求微分方程,满足初始条件,的特解。,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律。,解,根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知,t,=0 时铀的含量为,例3,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,成正比,求,解,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(,t,=0)速度为0,例4,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系。,t,足够大时,例5,有高为1 m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1cm,2,(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度,h,(水面与孔口中心间的距离)随时间,t,的变化规律。,解：,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,流量系数,孔口截面面积,重力加速度,设在微小的时间间隔,水面的高度由,h,降至,比较(1)和(2)得,:,即为未知函数的微分方程。,可分离变量,分离变量得：,所求规律为,一阶线性微分方程,课 题 二,1.理解一阶线性微分方程的概念;,教学目标,2.能够求出一阶线性微分方程的通解,和特解。,课题提出,如图闭合电路是,RL,串联电路,其中电动势,E,=15,V,电感,L,=0.5,H,电阻,R,=10,如果开始时(,t,=0,时),回路电流为 ,试求该电路在任何时刻电流。,A,3,|,0,0,=,=,=,t,i,i,R,K,L,课题分析,设电路在任意时刻,t,的电流为,i,=,i,(,t,),由回路电压定律,其中,末知函数,i,=,i,(,t,)满足微分方程,且满足初始条件,微分方程中,i,及 指数为1,R,K,L,例如,线性,;,非线性。,一阶线性微分方程标准形式:,若,Q,(,x,),=,0,称为,非齐次方程,。,称为,齐次方程,;,一、一阶线性微分方程的定义,相关知识,1.齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,通解公式,2,.非齐次方程,二、一阶线性微分方程的解法,解,例 求方程的通解。,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0,电阻,R,和电,解,列方程。,已知经过电阻,R,的电压降为,R i,经过,L,的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,例 有一电路如图所示,其中电源,求电流,感,L,都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,暂态电流,稳态电流,解的意义:,因此所求电流函数为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 min后使车间空,的含量不超过 0.06%?,提示:,设每分钟应输入,t,时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后,以相同的流量排出)。,得微分方程,(假定输入的新鲜空气,输入,的改变量为,例,已知某车间的容积为,t,=30,时,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气。,初始条件,得,k,=?,代入公式,二阶常系数齐次线性微分方程,课 题 三,1.理解二阶常系数齐次线性微分方程,及其特征方程的概念;,教学目标,2.掌握二阶常系数齐次线性微分方程,的求解方法和步骤。,课题提出,一架质量,m,=9500kg,的某型飞机在降落触地的瞬间，机尾张开减速伞，以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.如果该飞机着陆时的水平速度是,，经测试，减速伞打开后，飞机受到的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数 ），那么，从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？现在某就近机场只有一段长度为1.5km的跑道可供使用，试问这架飞机是否可以在该机场备降？,。,课题分析,已知飞机质量,m,=9500kg,比例系数,着陆时的水平速度是,设飞机在着陆后在任意时刻,t,的滑行距离为,s,=,s,(,t,),则,根据牛顿第二定律,F,=,ma,由飞机受到的净力=飞机推动力+飞机受到的综合阻力,即：,ma,=0-,kv,得微分方程,这是一个二阶微分方程。,一、二阶常系数齐次线性微分方程的定义,相关知识,定义 具有以下形式的二阶微分方程叫做二阶常系数齐次线性微分方程，即,或,其中,p,、,q,为常数,方程的特点是：方程中含有最高为,二阶,的导数或微分；未知函数及其各阶导数的,系数都是常数,；,常数项为零,；未知函数及其导数的,次数都是一次,。,如：,称为微分方程的,特征方程,其根称为,特征根,。,特征方程与特征根,如：二阶常系数齐次线性方程,相应的特征方程,解得两个相同的特征根,二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,实根,特征根,微分方程通解,相关知识,1.写,出微分方程 所对应的特征方程,2.,求出特征方程的两个特征根,3.,根据两个特征根，由下表写出微分方程的通解。,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,。,的通解。,解,特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例,求解初值问题,解,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例,求,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例 求方程 的通解。,解,位移满足,自由振动方程,例,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设,t,=0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,(1)无阻尼自由振动情况 (,n,=0,),简谐振动,A,:振幅,:初相,周期:,固有频率,(,仅由系统特性确定),解的特征:,方程:,特征方程:,特征根:,（1）,n,k,（3）,n,=,k,(2)有阻尼自由振动情况,