《连续随机变量》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上课,手机 关了吗？,2.4 连续型随机变量,定义,设,X,是随机变量,F,(,x,)是它的分布函数.若存在一个非负可积函数,f,(,x,)(,x,),使得,则称,X,是连续型,r.v.,f,(,x,)是它的概率密度函数(.),一、连续型,r.v.,的概念,由定义可知,连续型随机变量的分布函数是连续函数,是密度函数的变上限的定积分.,由上式可得,在,f,(,x,),的连续点,(2),规范性,Th1,(密度函数的特征性质),(1),非负性,f,(,x,),0,(,x,),;,注1,改变概率密度函数,f,(,x,)在个别点的函数值不影响公式(2)规范性,故对固定的分布函数,概率密度函数不唯一.,注2,满足上述两条性质的函数必是某一随机变量的密度函数.故常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的,p,.,d.f.,(求,f,(,x,)中未知参数!),Th2,设连续型r.v.,X,的分布函数(.)为,F,(,x,),概率分布密度函数为,f,(,x,),则,(2)若,x,是,f,(,x,),的连续点,则,(1),F,(,x,)为连续函数;,(3),对任意实数,c,则,P,X,=,c,0.,因为:,(4),可见,密度函数全面描述了连续型随机变量的规律.,(求,F,(,x,)中未知参数!),注,1.,几何意义,:,它是以(,a,b,为底,以曲线,y,=,f,(,x,)为顶的曲边梯形的面积.,面积为1,f,(,x,),注2.,由,P,(,A,),=0,不能推出,A,=,;,由,P,(,B,),=1,不能推出,B,=.,注,3,.,当,x,很小时,EX,2 设随机变量,X,的概率密度为,求常数,a,.,1 证明,为概率分布密度函数.,1,证,密度函数值,f,(,a,),并不反映,X,取,a,值的概率.但这个值越大,X,取,a,附近值的概率就越大.,也可以说,在某点密度曲线的高度,反映了概率集中在该点附近的程度.,1)求,X,的分布函数,F,(,x,);2)求,P,X,(0.5,1.5),解,：,例,1.,已知随机变量,X,的概率密度为,当,x,0,时,F,(,x,)=,当,0,x,1,时，,f,(,x,),是分段函数,求,F,(,x,),时要分段求.,=,0,P,X,(0.5,1.5)=,当,1,x,2,时,当,x,2,时,必然事件!,=,1,F,(1.5)-,F,(0.5)=3/4,例,2.,设,X,的密度函数为,试确定常数,A,并求,解,：,例3.设随机变量,X,的分布函数为,(1)求常数,A,的值;(2)求,X,取值在区间(0.3,0.7)的概率;(3)求,X,的概率密度.,解:,定义,p,(,1,)2,则,(1),F,(,x,)为连续函数,二、几个常用的连续型分布,则称,X,在(,a,b,),内服从均匀分布。记作,X,U,(,a,b,),1.均匀分布,U,(,a,b,),若r.v.,X,的.为,f,(,x,),a,b,x,0,1,注2,均匀分布的特征性质：,X,服从均匀分布,U,(,a,b,)的充分必要条件是,(1),X,落在(,a,b,)概率为1,落在区间外的概率为0;,(2),X,落在(,a,b,)子区间上概率与子区间长度成正比.,注1,对任意实数,c,d,(,acdb,)，,都有,说明r.v.,X,落在(,a,b,)区间上任一点的可能性都相同.,注3,均匀分布的分布函数：,P36 例12,当,x,a,时,F,(,x,)=,当,a,b,时,必然事件!,=,1,F,(,x,),a,b,x,0,1,15,45,解：设,A,乘客候车时间超过10分钟,X,乘客于某时,X,分钟到达，则,X,U,(0,60),例4.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车,设乘客不知发车时间,于每小时的任意时刻随机地到达车站,求乘客候车时间超过10分钟的概率.,2.,指数分布,则称,X,服从参数为,0的指数分布.,若r.v.,X,的.为,其分布函数:,例5.电子元件的寿命,X,(,年)服从参数为3的指数分布.,(1)求该电子元件寿命超过2年的概率;(2)已知该电子元件已使用了1.5年,求它还能使用两年的概率.,解,1,F,(2),1,F,(3.5),1,F,(1.5),e,6,非负的连续型r.v.,X,服从指数分布的充分必要条件是:无记忆性,例6.某公路桥每天,第一辆汽车过桥时刻为,T,，设,0，,t,时段内过桥的汽车数,X,t,服从参数为,t,的泊松分布,，求,T,的概率密度。,解,当,t,0时，,当,t,0时，,=1-,在,t,时刻之前无汽车过桥,于是,F,(,t,)=,P,T,t,F,(,t,)=,0,F,(,t,)=,P,T,t,=1-,P,T,t,=1-,P,X,t,=0,3,.,Gamma分布,说明,其中,=1的分布即为参数为,的指数分布,E,(,),正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广,所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式,这一公式被认为是正态分布的首次露面.,4.正态分布,(I),正态分布的定义,若,X,的,p.d.f.,为,则称,X,服从参数为,2,的,正态分布,记作,X,N,(,2,),为常数,亦称高斯,(Gauss)分布,(II),正态分布 密度函数图形特点,f,(,+,x,)=,f,(,-,x,),在,x=,时,f,(,x,)取得,最大值,曲线,y,=,f,(,x,)在,x=,对应点处有,拐点,曲线,y,=,f,(,x,)以,x,轴为,渐近线,曲线,y,=,f,(,x,)的图形呈,单峰状,(钟形曲线),关于直线,x=,对称,即,中间大两头小,2),决定随机变量取值的分散程度,固定,图形由,确定,:,1),决定图形的中心位置，,固定,图形形状不变,改变,图形平移.,越大,图形越扁平,X,落在,附近概率越小,即取值越分散,;,越小,图形越尖峭,X,落在,附近概率越大,即取值越集中,.,实例,年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。,从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。,下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学大学生的身高应服从正态分布.,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。,除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如,零件的尺寸,；,纤维的强度和张力,；,农作物的产量,，,小麦的穗长、株高,；,测量误差,，,射击目标的水平或垂直偏差,；,信号噪声,等等，都,服从或近似服从正态分布,.,(III)、设,X,X,的分布函数是,一种重要的正态分布,是偶函数，,分布函数,记为,其值有专门的表供查（P.222）,标准正态分布,N,(0,1),密度函数,x,面积为1,-x,x,P,-,a,X,a,=,(,a,),(-,a,),=,(,a,),1,(,a,),解,例7.设,X,N,(0,1),查表计算,P222 附表1,=0.9772,对一般的正态分布：,X N,(,2,),其分布函数,作变量代换,即：,N,(,0,1,),例8.,设,X,N,(1,4),求,P,(0,X,1.6,),解,P222 附表1,=0.6179-(1-0.6915),=0.3094,例9.,已知,且,P,(2,X,4,)=0.3,求,P,(,X,x,),x,)0.1,即,