2019年河南南阳中考数学真题及答案

2019 年河南南阳中考数学真题及答案 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1 （3 分） 的绝对值是（） A B C2 D2 2 （3 分）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ） A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 5 3 （3 分）如图， AB CD， B75， E27，则 D 的度数为（） A45 B48 C50 D58 4 （3 分）下列计算正确的是（） A2 a+3a6 a B （3 a） 26 a2 C （ x y） 2 x2 y2 D3 2 5 （3 分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图关于平移 前后几何体的三视图，下列说法正确的是（） A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 6 （3 分）一元二次方程（ x+1） （ x1）2 x+3 的根的情况是（） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 7 （3 分）某超市销售 A， B， C， D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元某天的销售 情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（） A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元 8 （3 分）已知抛物线 y x2+bx+4 经过（2， n）和（4， n）两点，则 n 的值为（） A2 B4 C2 D4 9 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， D90， AD4， BC3分别以点 A， C 为圆心，大于 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（） A2 B4 C3 D 10 （3 分）如图，在 OAB 中，顶点 O（0，0） ， A（3，4） ， B（3，4） ，将 OAB 与正方形 ABCD 组成的 图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（） A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10） 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。 ） 11 （3 分）计算： 2 1 12 （3 分）不等式组 的解集是 13 （3 分）现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这 些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 14 （3 分）如图，在扇形 AOB 中， AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OC OA若 OA2 ，则 阴影部分的面积为 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB1， BC a，点 E 在边 BC 上，且 BE 连接 AE，将 ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16 （8 分）先化简，再求值：（ 1） ，其中 x 17 （9 分）如图，在 ABC 中， BA BC， ABC90，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是 上 不与点 B， D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G （1）求证： ADF BDG； （2）填空： 若 AB4，且点 E 是 的中点，则 DF 的长为 ； 取 的中点 H，当 EAB 的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形 18 （9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a七年级成绩频数分布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 人； （2）表中 m 的值为 ； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的 排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人 数 19 （9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测 得塑像顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度 （精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67， 1.73） 20 （9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元 （1）求 A， B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A， B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 请设计出最省钱 的购买方案，并说明理由 21 （10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数” 的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x， y，由矩形的面积为 4，得 xy4，即 y ；由周长为 m，得 2（ x+y） m，即 y x+ 满足要求的（ x， y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标 （2）画出函数图象 函数 y （ x0）的图象如图所示，而函数 y x+ 的图象可由直线 y x 平移得到请在同一 直角坐标系中直接画出直线 y x （3）平移直线 y x，观察函数图象 当直线平移到与函数 y （ x0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为 ； 在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围 （4）得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 22 （10 分）在 ABC 中， CA CB， ACB点 P 是平面内不与点 A， C 重合的任意一点连接 AP，将 线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD， BD， CP （1）观察猜想 如图 1，当 60时， 的值是 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形 说明理由 （3）解决问题 当 90时，若点 E， F 分别是 CA， CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C， P， D 在同一 直线上时 的值 23 （11 分）如图，抛物线 y ax2+ x+c 交 x 轴于 A， B 两点，交 y 轴于点 C直线 y x2 经过点 A， C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m 当 PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M， B， B到该直线的距离都相等当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l： y kx+b 的解析式 （ k， b 可用含 m 的式子表示） 2019 年河南省中考数学试卷 答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1 （3 分） 的绝对值是（） A B C2 D2 【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可 【解答】解：| | ， 故选： B 【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0 的绝对值是 0 是解题的关键 2 （3 分）成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ） A4610 7 B4.610 7 C4.610 6 D0.4610 5 【分析】本题用科学记数法的知识即可解答 【解答】解：0.00000464.610 6 故选： C 【点评】本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与 0 的个数的关系 要掌握好 3 （3 分）如图， AB CD， B75， E27，则 D 的度数为（） A45 B48 C50 D58 【分析】根据平行线的性质解答即可 【解答】解： AB CD， B1， 1 D+ E， D B E752748， 故选： B 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答 4 （3 分）下列计算正确的是（） A2 a+3a6 a B （3 a） 26 a2 C （ x y） 2 x2 y2 D3 2 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可； 【解答】解：2 a+3a5 a， A 错误； （3 a） 29 a2， B 错误； （ x y） 2 x22 xy+y2， C 错误； 2 ， D 正确； 故选： D 【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运 算法则是解题的关键 5 （3 分）如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图关于平移 前后几何体的三视图，下列说法正确的是（） A主视图相同 B左视图相同 C俯视图相同 D三种视图都不相同 【分析】根据三视图解答即可 【解答】解：图的三视图为： 图的三视图为： 故选： A 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间 想象能力 6 （3 分）一元二次方程（ x+1） （ x1）2 x+3 的根的情况是（） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 【分析】先化成一般式后，在求根的判别式 【解答】解：原方程可化为： x22 x40， a1， b2， c4， （2） 241（4）200， 方程由两个不相等的实数根 故选： A 【点评】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键 7 （3 分）某超市销售 A， B， C， D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元某天的销售 情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（） A1.95 元 B2.15 元 C2.25 元 D2.75 元 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得 【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是 510%+315%+255%+120%2.25（元） ， 故选： C 【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义 8 （3 分）已知抛物线 y x2+bx+4 经过（2， n）和（4， n）两点，则 n 的值为（） A2 B4 C2 D4 【分析】根据（2， n）和（4， n）可以确定函数的对称轴 x1，再由对称轴的 x 即可求解； 【解答】解：抛物线 y x2+bx+4 经过（2， n）和（4， n）两点， 可知函数的对称轴 x1， 1， b2； y x2+2x+4， 将点（2， n）代入函数解析式，可得 n4； 故选： D 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键 9 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中， AD BC， D90， AD4， BC3分别以点 A， C 为圆心，大于 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（） A2 B4 C3 D 【分析】连接 FC，根据基本作图，可得 OE 垂直平分 AC，由垂直平分线的性质得出 AF FC再根据 ASA 证明 FOA BOC，那么 AF BC3，等量代换得到 FC AF3，利用线段的和差关系求出 FD AD AF1然后在直角 FDC 中利用勾股定理求出 CD 的长 【解答】解：如图，连接 FC，则 AF FC AD BC， FAO BCO 在 FOA 与 BOC 中， ， FOA BOC（ ASA） ， AF BC3， FC AF3， FD AD AF431 在 FDC 中， D90， CD2+DF2 FC2， CD2+123 2， CD2 故选： A 【点评】本题考查了作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定 与性质，难度适中求出 CF 与 DF 是解题的关键 10 （3 分）如图，在 OAB 中，顶点 O（0，0） ， A（3，4） ， B（3，4） ，将 OAB 与正方形 ABCD 组成的 图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（） A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10） 【分析】先求出 AB6，再利用正方形的性质确定 D（3，10） ，由于 70417+2，所以第 70 次旋 转结束时，相当于 OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，每次旋转 90，此时旋转 前后的点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点 D 的坐标 【解答】解： A（3，4） ， B（3，4） ， AB3+36， 四边形 ABCD 为正方形， AD AB6， D（3，10） ， 70417+2， 每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于 OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，每次旋转 90， 点 D 的坐标为（3，10） 故选： D 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质 来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分。 ） 11 （3 分）计算： 2 1 1 【分析】本题涉及二次根式化简、负整数指数幂两个考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实 数的运算法则求得计算结果 【解答】解： 2 1 2 1 故答案为：1 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟 练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算 12 （3 分）不等式组 的解集是 x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小 小无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 1，得： x2， 解不等式 x+74，得： x3， 则不等式组的解集为 x2， 故答案为： x2 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大； 同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 13 （3 分）现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这 些球除颜色外完全相同从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得 【解答】解：列表如下： 黄 红 红 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 白 （黄，白） （红，白） （红，白） 由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为 ， 故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结 果列举出来，难度不大 14 （3 分）如图，在扇形 AOB 中， AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OC OA若 OA2 ，则 阴影部分的面积为 + 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是 AOD 的面积与扇形 OBC 的面积之和再减去 BDO 的面积，本题得以解决 【解答】解：作 OE AB 于点 F， 在扇形 AOB 中， AOB120，半径 OC 交弦 AB 于点 D，且 OC OA OA2 ， AOD90， BOC90， OA OB， OAB OBA30， OD OAtan30 2， AD4， AB2 AF22 6， OF ， BD2， 阴影部分的面积是： S AOD+S 扇形 OBC S BDO +， 故答案为： + 【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 15 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB1， BC a，点 E 在边 BC 上，且 BE 连接 AE，将 ABE 沿 AE 折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的边上，则 a 的值为 或 【分析】分两种情况：点 B落在 AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得 AB BE，即可求出 a 的值； 点 B落在 CD 边上，证明 ADB B CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出 a 的值 【解答】解：分两种情况： 当点 B落在 AD 边上时，如图 1 四边形 ABCD 是矩形， BAD B90， 将 ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 AD 边上， BAE B AE BAD45， AB BE， a1， a ； 当点 B落在 CD 边上时，如图 2 四边形 ABCD 是矩形， BAD B C D90， AD BC a 将 ABE 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 B落在 CD 边上， B AB E90， AB AB1， EB EB a， DB ， EC BC BE a a 在 ADB与 B CE 中， ， ADB B CE， ，即 ， 解得 a1 ， a20（舍去） 综上，所求 a 的值为 或 故答案为 或 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小 不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性 质进行分类讨论与数形结合是解题的关键 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16 （8 分）先化简，再求值：（ 1） ，其中 x 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得 【解答】解：原式（ ） ， 当 x 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则 17 （9 分）如图，在 ABC 中， BA BC， ABC90，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是 上 不与点 B， D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G （1）求证： ADF BDG； （2）填空： 若 AB4，且点 E 是 的中点，则 DF 的长为42 ； 取 的中点 H，当 EAB 的度数为30时，四边形 OBEH 为菱形 【分析】 （1）利用直径所对的圆周角是直角，可得 ADB AEB90，再应用同角的余角相等可得 DAF DBG，易得 AD BD， ADF BDG 得证； （2）作 FH AB，应用等弧所对的圆周角相等得 BAE DAE，再应用角平分线性质可得结论；由菱 形的性质可得 BE OB，结合三角函数特殊值可得 EAB30 【解答】解：（1）证明：如图 1， BA BC， ABC90， BAC45 AB 是 O 的直径， ADB AEB90， DAF+ BGD DBG+ BGD90 DAF DBG ABD+ BAC90 ABD BAC45 AD BD ADF BDG（ ASA） ； （2）如图 2，过 F 作 FH AB 于 H，点 E 是 的中点， BAE DAE FD AD， FH AB FH FD sin ABDsin45 ， ，即 BF FD AB4， BD4cos452 ，即 BF+FD2 ， （ +1） FD2 FD 42 故答案为 连接 OE， EH，点 H 是 的中点， OH AE， AEB90 BE AE BE OH 四边形 OBEH 为菱形， BE OH OB AB sin EAB EAB30 故答案为：30 【点评】本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形， 特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理 18 （9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析部分信息如下： a七年级成绩频数分布直方图： b七年级成绩在 70 x80 这一组的是： 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有23人； （2）表中 m 的值为77.5； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的 排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人 数 【分析】 （1）根据条形图及成绩在 70 x80 这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数所占比例可得 【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 15+823 人， 故答案为：23； （2）七年级 50 人成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据分别为 78、79， m 77.5， 故答案为：77.5； （3）甲学生在该年级的排名更靠前， 七年级学生甲的成绩大于中位数 78 分，其名次在该班 25 名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数 78 分，其名次在该班 25 名之后， 甲学生在该年级的排名更靠前 （4）估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 400 224（人） 【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题 所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用 19 （9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测 得塑像顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度 （精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67， 1.73） 【分析】由三角函数求出 AC 82.1 m，得出 BC AC AB61.1 m，在 Rt BCD 中，由三角 函数得出 CD BC105.7 m，即可得出答案 【解答】解： ACE90， CAE34， CE55 m， tan CAE ， AC 82.1 m， AB21 m， BC AC AB61.1 m， 在 Rt BCD 中，tan60 ， CD BC1.7361.1105.7 m， DE CD EC105.75551 m， 答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51m 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用 三角函数的知识求解，难度适中 20 （9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品已知购买 3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元 （1）求 A， B 两种奖品的单价； （2）学校准备购买 A， B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 请设计出最省钱 的购买方案，并说明理由 【分析】 （1）设 A 的单价为 x 元， B 的单价为 y 元，根据题意列出方程组 ，即可求解； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30 z）个，购买奖品的花费为 W 元，根据题意得到由题 意可知， z （30 z） ， W30 z+15（30 z）450+15 z，根据一次函数的性质，即可求解； 【解答】解：（1）设 A 的单价为 x 元， B 的单价为 y 元， 根据题意，得 ， ， A 的单价 30 元， B 的单价 15 元； （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30 z）个，购买奖品的花费为 W 元， 由题意可知， z （30 z） ， z ， W30 z+15（30 z）450+15 z， 当 z8 时， W 有最小值为 570 元， 即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少； 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案 转化为一次函数性质解题是关键 21 （10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数” 的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x， y，由矩形的面积为 4，得 xy4，即 y ；由周长为 m，得 2（ x+y） m，即 y x+ 满足要求的（ x， y）应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标 （2）画出函数图象 函数 y （ x0）的图象如图所示，而函数 y x+ 的图象可由直线 y x 平移得到请在同一 直角坐标系中直接画出直线 y x （3）平移直线 y x，观察函数图象 当直线平移到与函数 y （ x0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长 m 的值为8； 在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围 （4）得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 m8 【分析】 （1） x， y 都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）把点（2，2）代入 y x+ 即可求解；在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个 三种情况，联立 y 和 y x+ 并整理得： x2 mx+40，即可求解； （4）由（3）可得 【解答】解：（1） x， y 都是边长，因此，都是正数， 故点（ x， y）在第一象限， 答案为：一； （2）图象如下所示： （3）把点（2，2）代入 y x+ 得： 22+ ，解得： m8； 在直线平移过程中，交点个数有：0 个、1 个、2 个三种情况， 联立 y 和 y x+ 并整理得： x2 mx+40， m2440 时，两个函数有交点， 解得： m8； （4）由（3）得： m8 【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类 探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大 22 （10 分）在 ABC 中， CA CB， ACB点 P 是平面内不与点 A， C 重合的任意一点连接 AP，将 线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD， BD， CP （1）观察猜想 如图 1，当 60时， 的值是1，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形 说明理由 （3）解决问题 当 90时，若点 E， F 分别是 CA， CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C， P， D 在同一 直线上时 的值 【分析】 （1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O证明 CAP BAD（ SAS） ， 即可解决问题 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O， BD 交 PC 于点 E证明 DAB PAC，即可解决问题 （3）分两种情形：如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H证明 AD DC 即可解决问题 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证： DA DC 解决问题 【解答】解：（1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O PAD CAB60， CAP BAD， CA BA， PA DA， CAP BAD（ SAS） ， PC BD， ACP ABD， AOC BOE， BEO CAO60， 1，线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60， 故答案为 1，60 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O， BD 交 PC 于点 E PAD CAB45， PAC DAB， ， DAB PAC， PCA DBA， ， EOC AOB， CEO OABB45， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的小角的度数为 45 （3）如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H CE EA， CF FB， EF AB， EFC ABC45， PAO45， PAO OFH， POA FOH， H APO， APC90， EA EC， PE EA EC， EPA EAP BAH， H BAH， BH BA， ADP BDC45， ADB90， BD AH， DBA DBC22.5， ADB ACB90， A， D， C， B 四点共圆， DAC DBC22.5， DCA ABD22.5， DAC DCA22.5， DA DC，设 AD a，则 DC AD a， PD a， 2 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证： DA DC，设 AD a，则 CD AD a， PD a， PC a a， 2+ 【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全 等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似 三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 23 （11 分）如图，抛物线 y ax2+ x+c 交 x 轴于 A， B 两点，交 y 轴于点 C直线 y x2 经过点 A， C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m 当 PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M， B， B到该直线的距离都相等当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l： y kx+b 的解析式 （ k， b 可用含 m 的式子表示） 【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A， C 的坐标，根据点 A， C 的坐标，利用待 定系数法可求出二次函数解析式； （2）由 PM x 轴可得出 PMC90，分 MPC90及 PCM90两种情况考虑：（ i）当 MPC90时， PC x 轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 P 的坐标；（ ii）当 PCM90时，设 PC 与 x 轴交于点 D，易证 AOC COD，利用相似三角形的性质可求出点 D 的坐 标，根据点 C， D 的坐标，利用待定系数法可求出直线 PC 的解析式，联立直线 PC 和抛物线的解析式成 方程组，通过解方程组可求出点 P 的坐标综上，此问得解； 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 B， P 的坐标，根据点 P， B 的坐标，利用待定系数法可 求出直线 PB 的解析式，结合题意可知：直线 l 过点 C，且直线 l直线 PB，再结合点 C 的坐标即可求 出直线 l 的解析式 【解答】解：（1）当 x0 时， y x22， 点 C 的坐标为（0，2） ； 当 y0 时， x20， 解得： x4， 点 A 的坐标为（4，0） 将 A（4，0） ， C（0，2）代入 y ax2+ x+c，得： ，解得： ， 抛物线的解析式为 y x2+ x2 （2） PM x 轴， PMC90， 分两种情况考虑，如图 1 所示 （ i）当 MPC90时， PC x 轴， 点 P 的纵坐标为2 当 y2 时， x2+ x22， 解得： x12， x20， 点 P 的坐标为（2，2） ； （ ii）当 PCM90时，设 PC 与 x 轴交于点 D OAC+ OCA90， OCA+ OCD90， OAC OCD 又 AOC COD90， AOC COD， ，即 ， OD1， 点 D 的坐标为（1，0） 设直线 PC 的解析式为 y kx+b（ k0） ， 将 C（0，2） ， D（1，0）代入 y kx+b，得： ，解得： ， 直线 PC 的解析式为 y2 x2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，得： ， 解得： ， ， 点 P 的坐标为（6，10） 综上所述：当 PCM 是直角三角形时，点 P 的坐标为（2，2）或（6，10） 当 y0 时， x2+ x20， 解得： x14， x22， 点 B 的坐标为（2，0） 点 P 的横坐标为 m（ m0 且 m0） ， 点 P 的坐标为（ m， m2+ m2） ， 直线 PB 的解析式为 y （ m+4） x （ m+4） （可利用待定系数求出） 点 B， B关于点 C 对称，点 B， B， P 到直线 l 的距离都相等， 直线 l 过点 C，且直线 l直线 PB， 直线 l 的解析式为 y （ m+4） x2 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点 的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关 键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）分 MPC90及 PCM90两种情况求出点 P 的坐标；利用待定系数法及平行线的性质，求出直线 l 的解析式 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/1 8:49:30；用户：初中数学 6；邮箱：；学号：24955684