《数值分析误差》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,北京工业大学应用数理学院,数值分析,(计算方法),第一章：误差,主要内容,误差的,来源与分类,误差与有效数字,在近似计算中应注意的几个问题,1.,来源与分类,(,Source & Classification,),模型误差,参数误差,(,观测误差,),方法误差,(,截断误差,),舍入误差,1.1,模型误差,(,Modeling Error,),用计算机解决实际问题时，首先要建立,数学模型,，各种实际问题是十分复杂的，而数学模型是对被描述的实际问题进行,抽象、简化,而得到的，往往,忽略,了一些,次要因素,，因而是,近似,的，我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为,模型误差,。如自由落体公式,忽略了空气阻力。,数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过,实验测定或观测,得到的，因此与真值之间也有误差，这种误差称为,参数误差,或,观测误差,。,例如前例中的重力加速度g=9.8米/秒，这个数值是由多次实验而得到的结果实际的值有一定的误差，这时,g-9.8,就是参数误差。,1.2,参数误差(,观测误差，,Measurement Error,),1.3,方法误差,(截断误差,Truncation Error,）,在数学模型（包括参数值）确定以后，就常要考虑选用某种数值方法具体进行计算，许多数值方法都是近似方法，故求出的结果与准确值之间是有误差的，该误差称为截断误差或方法误差。例如，函数,f,(,x,)用,Taylor,多项式,近似代替，则数值方法的截断误差为：,对于参与计算的数据用计算机做数值计算时，所计算数据的位数可能很多甚至可能有无穷多位，而计算机的字长,有限的,，因此只能对有限位进行计算，原始数据和计算结果在计算机上表示均用,4舍5入,或,截去,的方法进行处理，这种误差称为,舍入误差,。例如用近似代替，产生的误差：,即4舍5入产生的误差就是舍入误差。,1.4,舍入误差,(,Rounding Error,）,1.5,各种误差产生的时机,实际问题,数学模型,数学方法,求解过程,计算结果,模型误差,参数误差,截断误差,舍入误差,舍入误差会产生积累，其他三种误差没有积累。,2.,误差与有效数字,(Error and Significant Digits,),如果,x,*,为,x,的近似值,称,e,*=,x,-,x,*,为,绝对误差,。,绝对误差往往是未知的，而只知道它的一个上限，此,上限,|e,*|=|,x,-,x,*|,记为,*,称为,绝对误差限,(,accuracy,),。,工程上常记为,x,=,x,*,*,，,例如,绝对误差,(,absolute error,),相对误差,(,relative,error),称为近似值,x,*,的相对误差；,的绝对值的上界 称为相对误差限，即,绝对误差限与相对误差限的关系,有效数字,(Significant Digits,),在实际计算中, 经常按四舍五入原则取近似值. 例如:,它们的误差都不会超过末位数字的半个单位, 即,定义,设,x,为准确值,x,*为,x,的近似值，记,x*,=0.,a,1,a,2,a,n,10,m,(其中,a,1,0,),若,|,x,-,x,*|0.510,m-n,(即,a,n,的截取按四舍五入规则)，则称,x*,有,n,位有效数字，精确到,10,m-n,。,例如，如果取,*=3.1415,，问,*,有几位有效数字？,证明：,*,=0.3141510,1,|- ,*,|=0.0000926,0.510,-3,= 0.510,1-4,所以有,4,位有效数字,精确到小数点后第,3,位。,可以证明,*,=3.14159,有,6,位有效数字。,有效数字愈多愈精确,当两个相近的数相减时，会大大的损失有效数字的位数，使得相对误差会变得很大。,3,在近似计算中应注意的几个问题,3.1,做减法要避免两个相近的数相减,解 ：,x-y,=1.5846-1.5839=0.0007,x,，,y,的有效数字是,5,位，而,x-y,的有效数字却只有,1,位，这样使得有效数字的位数大大的减少了。,例1: 已知,x,=1.5846,y,=1.5839, 求,x-y,例2. 已知,x,=18.496,y,=18.493取4位有效数字,计算,x-y,的近似值，并估计其相对误差.,而,x-y,=18.496-18.493=0.003,其相对误差为,解：取,x*,=18.50，,y*,=18.49进行计算得,x,*-,y,*=18.50-18.49=0.01,可以看到相对误差比较大.,例如，当,x,很大时 和 很接近，直接计算就会大大的损失有效数字，此时应把公式变形，分子、分母同乘一个共轭根式，即,在编程序时，可采取以下措施：,1). 对参加运算的量多保留几位有效数字；,2). 变换计算公式，,这样求出的结果就比较准确。,又例如，当,x,1,与,x,2,很接近时，,ln,x,1,-ln,x,2,就可能损失有效数字过多，一般变形为 ：,这样求出的结果就比较准确。,分母的值就变的很小，一般应变形为:,3. 2,做除法运算时作分母的量不要太小,例如，计算,时，,会使 的绝对误,差变的很大，,一般遇到这种情况把公式,变形,例如,当|,x,|非常小时，,使用此公式就比较可靠。,若绝对值相差很大的两个数做加，减法运算时绝对值较小的数往往被绝对值较大的数“吃掉”，绝对值较小的值不能发挥作用，影响计算结果的准确性。,3.3,防止大数“吃掉”小数,例 3 求方程,x,2,-(,10,9,+1),x,+10,9,=0的根 (,保留8位10进制数,)。,解：,很容易可以求出此方程的根为,x,1,=10,9,x,2,=1,如果用二次方程的求根公式,来编程时就可能得不到正确的结果。,如果我们使用的计算机只能保留小数点后8位，因为在运算前计算机要先把数“规格化”，下面我们看,第一步：把,两个数对阶,“规格化”,的运算，把两个数按,“对阶”,规格化后，参加运算的量表示为,第二步：把两个数对阶相加,两数相加：,按4舍5入保留8位,用求根公式可得方程的根：,第三步：用求根公式求方程的解,所以,由此可看出结果的误差太大，原因就是在作加减法运算时要“对阶”，因而小数,1,被大数,10,9,吃掉了。,采取的措施,从上面的计算可以看出,x,1,是可靠的，而,x,2,是不可靠的，我们不能使用求根公式计算,x,2,，我们利用两根间的关系求,x,2,，即,可以看出，用此方法是可靠的。,在编程时，若,b,0先计算,x,2,，上述方法计算,x,1,。,3.4,要注意计算公式的简化，减少运算次数,简化计算公式很重要，将直接影响计算的速度和误差的积累，有时可以使一个无法实现的计算能够实现。,例,计算多项式：,的值。,若直接用上面公式计算，当计算 项时，需要进行,k,次乘法，因而求出这个多项式的值时需要进行 次乘法和,n,次加法，当,n,很大且要反复计算此多项式的值时，工作量将会很大.,但我们若将公式改写为：,改进的措施,则只需要,n,次乘法和,n,次加法，即可得到计算结果，可以看出，将公式改写后可大大减少运算次数,。,例如,：,C函数：double,Polynomial(double *,a, int,n, double,x,),double,p,=,a,n,;,for (int,k=n,-1;,k,=0;,k,-),p=p,*,x,+,a,k,;,return p;,在数值计算时，会产生那四种误差，这四种误差的来源是什么；,绝对误差和绝对误差限的定义及计算公式；,相对误差和相对误差限的定义及计算公式；,有效数字的定义，有效数字和绝对误差的关系？有效数字和相对误差的关系？,保留,3,位有效数字与保留小数点以后,3,位,数字,的区别。,误差知识部分的自学提纲,作业,习题一1.1, 1.2, 1.4, 1.5,