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21.2,二次函数的图象和性质,2.,二次函数,y,=,ax,+,bx,+,c,的图象和性质,第,4,课时 二次函数,y,=,ax,+,bx+c,的图象和性质,情境引入,学习目标,1.,会用配方法或公式法将一般式,y,ax,2,bx,c,化成顶点式,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,.(,难点）,2.,会熟练求出二次函数一般式,y,ax,2,bx,c,的顶点坐标、对称轴,.,（重点）,导入新课,复习引入,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,a,0,a,0,开口方向,顶点坐标,对称轴,增减性,极值,向上,向下,(,h,k,),(,h,k,),x,=,h,x,=,h,当,xh,时，,y,随着,x,的增大而增大,.,当,x,h,时，,y,随着,x,的增大而减小,.,x,=,h,时,y,最小,=,k,x,=,h,时,y,最大,=,k,抛物线,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,可以看作是由抛物线,y,=,ax,2,经过平移得到的,.,顶点坐标,对称轴,最值,y,=-2,x,2,y,=-2,x,2,-5,y,=-2(,x,+2),2,y,=-2(,x,+2),2,-4,y,=(,x,-4),2,+3,y,=-,x,2,+,2,x,y,=3,x,2,+,x,-6,(0,0),y,轴,0,(0,-5),y,轴,-5,(-2,0),直线,x,=-2,0,(-2,-4),直线,x,=-2,-4,(4,3),直线,x,=4,3,?,?,?,?,?,?,讲授新课,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象和性质,探究归纳,我们,已经,知道,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的图象和性质，能否利用这些知识来讨论,的图象和性质？,问题,1,怎样将,化成,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的形式？,配方可得,想一想：配方的方法及步骤是什么？,配方,你知道是怎样配方的吗？,(1)“,提”：提出二次项系数；,(,2,),“,配”：括号内配成完全平方；,(,3,)“化”：化成顶点式.,提示,:,配方后的表达式通常称为,配方式,或,顶点式,.,问题,2,你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？,答：对称轴是直线,x,=6,顶点坐标是,（,6,，,3,）,.,问题,3,二次函数,可以看作是由 怎样平移得到的？,答：平移方法,1,：,先向上平移,3,个单位，再向右平移,6,个单位得到的；,平移方法,2,：,先向右平移,6,个单位，再向上平移,3,个单位得到的,.,问题,4,如何画二次函数,的图象？,9,8,7,6,5,4,3,x,先利用图形的对称性列表,7.5,5,3.5,3,3.5,5,7.5,5,10,x,y,5,10,然后描点画图，,得到图象如右图,.,O,问题,5,结合,二次函数,的图象，说出其性质,.,5,10,x,y,5,10,x,=6,当,x,6,时，,y,随,x,的增大而增大,.,O,例,1,画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质,.,x,-2,-1,0,1,2,3,4,y,-,6.5,-4,-2.5,-2,-2.5,-4,-6.5,解,:,函数 通过配方可,得,，,先列表：,典例精析,2,x,y,-2,0,4,-2,-4,-4,-6,-8,然后描点、连线，得到图象如下图,.,由图象可知，这个函数具有如下性质：,当,x,1,时，函数值,y,随,x,的增大而增大；,当,x,1,时，函数值,y,随,x,的增大而减小；,当,x,=1,时，函数取得最大值，最大值,y,=-2.,求二次函数,y,=2,x,2,-8,x,+7,图象的对称轴和顶点坐标,.,因此,，,二次函数,y,=2,x,2,-8,x,+7,图象,的对称轴是直线,x=,2,，,顶点坐标为,(2,-1).,解：,练一练,将一般式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,化成顶点式,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,我们如何用配方法将一般式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,（,a,0),化成顶点式,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,？,y,=,ax,+,bx,+,c,归纳总结,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象和性质,一般,地，,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的,可以通过配方化成,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的形式，即,因此，抛物线,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的顶点坐标是：,对称轴是：直线,(1),(2),x,y,O,x,y,O,如果,a,0,当,x,时，,y,随,x,的增大而增大,.,如果,a,0,当,x,时，,y,随,x,的增大而减小,.,例,2,已知,二次函数,y,=,x,2,2,bx,c,，当,x,1,时，,y,的值随,x,值的增大而减小，则实数,b,的取值范围是（）,A,b,1 B,b,1,C,b,1,D,b,1,解析：,二次项系数为,1,0,，,抛物线开口向下，在对称轴右侧，,y,的值随,x,值的增大而减小，由题设可知，当,x,1,时，,y,的值随,x,值的增大而减小，,抛物线,y,=,x,2,2,bx,c,的对称轴应在直线,x,=1,的左侧而抛物线,y,=,x,2,2,bx,c,的对称轴 ，即,b,1,，故选择,D,.,D,填一填,顶点坐标,对称轴,最值,y,=-,x,2,+,2,x,y,=-2,x,2,-,1,y,=,9,x,2,+,6,x,-5,(,1,3,),x,=1,最大值,1,(0,-,1,),y,轴,最大值,-1,最小值,-6,(,-6,),直线,x,=,二次函数字母系数与图象的关系,合作探究,问题,1,一次函数,y,=,kx,+,b,的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：,x,y,O,y,=,k,1,x,+,b,1,x,y,O,y,=,k,2,x,+,b,2,y,=,k,3,x,+,b,3,k,1,_ 0,b,1,_ 0,k,2,_ 0,b,2,_ 0,k,3,_ 0,b,3,_ 0,x,y,O,问题,2,二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：,a,1,_ 0,b,1,_ 0,c,1,_ 0,a,2,_ 0,b,2,_ 0,c,2,_ 0,开口向上，,a,0,对称轴在,y,轴左侧，,x,0,对称轴在,y,轴右侧，,x,0,x,=0,时,，,y,=,c,.,x,y,O,a,3,_ 0,b,3,_ 0,c,3,_ 0,a,4,_ 0,b,4,_ 0,c,4,_ 0,开口向下，,a,0,对称轴是,y,轴，,x=,0,对称轴在,y,轴右侧，,x,0,x,=0,时,，,y,=,c,.,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的图象与,a,、,b,、,c,的关系,字母符号,图象的特征,a,0,开口,_,a,0,开口,_,b=,0,对称轴为,_,轴,a,、,b,同号,对称轴在,y,轴的,_,侧,a,、,b,异号,对称轴在,y,轴的,_,侧,c=,0,经过原点,c,0,与,y,轴交于,_,半轴,c,0,与,y,轴交于,_,半轴,向上,向下,y,左,右,正,负,例,3,已知二次函数,y,ax,2,bx,c,的图象如图所示，下列结论：,abc,0,；,2,a,b,0,；,4,a,2,b,c,0,；,(,a,c,),2,b,2,.,其中正确的个数是,(,),A,1,B,2,C,3,D,4,D,由图象上横坐标为,x,2,的点在第三象限可得,4,a,2,b,c,0,，故,正确；,由,图象上,x,1,的点在第四象限得,a,b,c,0,，由图象,上,x,1,的点在第二象限得出,a,b,c,0,，则,(,a,b,c,)(,a,b,c,),0,，即,(,a,c,),2,b,2,0,，可得,(,a,c,),2,b,2,，故,正确,【解析】,由图象开口向下可得,a,0,，由对称轴在,y,轴左侧可得,b,0,，由图象与,y,轴交于正半轴可得,c,0,，则,abc,0,，故,正确；,由对称轴,x,1,可得,2,a,b,0,，故,正确；,1.,已知二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,的,x,、,y,的部分对应值如下表：,x,-1,0,1,2,3,y,5,1,-1,-1,1,A,.y,轴,B.,直线,x,=,C.,直线,x,=2 D.,直线,x,=,则该二次函数图象的对称轴为,(),D,当堂练习,O,y,x,1,2,3,2.,已知二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0,),的图象如图所示，则下列结论：,（,1,）,a,、,b,同号；,（,2,）,当,x,=1,和,x,=3,时，函数值相等；,（,3,）,4,a,+,b,=0,；,（,4,）,当,y,=2,时，,x,的值只能取,0,；,其中正确的是,.,直线,x,=1,（,2,）,3.,如图是二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),图象的一部分，,x,=,-,1,是对称轴，有下列判断：,b,-2,a,=0；4,a,-2,b,+,c,y,2,.其中正确的是（）,A,B,C,D,x,y,O,2,x,=-1,B,4.,根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：,直线,x,=3,直线,x,=8,直线,x,=1.25,直线,x,=0.5,课堂小结,顶点：,对称轴：,y,=,ax,2,+,bx,+,c,（,a,0),(,一般式,),配方法,公式,法,(,顶点式,),
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