圆的参数方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲 参数方程,1,、参数方程的概念,（,1,）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x,、,y,都是某个变数,t,的函数，即,并且对于,t,的每一个允许值，由上述方程组所确定的点,M,（,x,y,）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的,参数方程,，联系,x,、,y,之间关系的变数叫做,参变数,，简称,参数,。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。,（,2,） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的,普通方程,。,并且对于 的每一个允许值,由方程组所确定的点,P(x,y),都在圆,O,上,.,5,o,思考,1,：,圆心为原点，半径为,r,的圆的参数方程？,我们把方程组叫做圆心在原点、半径为,r,的圆的参数方程，,是参数,.,观察,1,观察,2,(a,b),r,又,所以,（,3,）参数方程与普通方程的互化,x,2,+y,2,=r,2,注：,1,、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。,2,、参数方程的应用往往是在,x,与,y,直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。,已知曲线,C,的参数方程是,(1),判断点（,0,，,1,）,(5,4),是否在上,.(2),已知点（，,a,）在曲线上，求,a.,例,1,、,已知圆方程,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,，将它化为参数方程。,解：,x,2,+y,2,+2x-6y+9=0,化为标准方程，,（,x+1,）,2,+,（,y-3,）,2,=1,，,参数方程为,(,为参数,),练习：,1.,填空：已知圆,O,的参数方程是,(0,2 ),如果圆上点,P,所对应的参数 ，则点,P,的坐标是,A,的圆，化为标准方程为,（,2,，,-2,）,1,化为参数方程为,把圆方程,0,1,4,2,),2,(,2,2,=,+,-,+,+,y,x,y,x,x,M,P,A,y,O,解,:,设,M,的坐标为,(,x,y,),可设点,P,坐标为,(4cos,4sin,),点,M,的轨迹是以,(6,0),为圆心、,2,为半径的圆。,由中点公式得,:,点,M,的轨迹方程为,x,=6+2cos,y,=2sin,x,=4cos,y,=4sin,圆,x,2,+,y,2,=16,的参数方程为,2,例,2.,如图,已知点,P,是圆,x,2,+,y,2,=16,上的一个动点,点,A,是,x,轴上的定点,坐标为,(12,0),.,当点,P,在圆,上运动时,线段,PA,中点,M,的轨迹是什么,?,例题：,观察,3,1,解,:,设,M,的坐标为,(,x,y,),点,M,的轨迹是以,(6,0),为圆心、,2,为半径的圆。,由中点坐标公式得,:,点,P,的坐标为,(2,x,-,12,2,y,),(2,x,-,12),2,+(2,y,),2,=16,即,M,的轨迹方程为,(,x,-,6),2,+,y,2,=4,点,P,在圆,x,2,+,y,2,=16,上,x,M,P,A,y,O,例,2.,如图,已知点,P,是圆,x,2,+,y,2,=16,上的一个动点,点,A,是,x,轴上的定点,坐标为,(12,0),.,当点,P,在圆,上运动时,线段,PA,中点,M,的轨迹是什么,?,例题：,例,3,、,已知点,P,（,x,，,y,）是圆,x,2,+y,2,- 6x- 4y+12=0,上动点，求（,1,）,x,2,+y,2,的最值，,（,2,）,x+y,的最值，,（,3,）,P,到直线,x+y- 1=0,的距离,d,的最值。,解：圆,x,2,+y,2,- 6x- 4y+12=0,即（,x- 3,）,2,+,（,y- 2,）,2,=1,，用参数方程表示为,由于点,P,在圆上，所以可设,P,（,3+cos,，,2+sin,）,（,1,）,x,2,+y,2,= (3+cos),2,+(2+sin),2,=14+4 sin +6cos=14+2 sin( +).,(,其中,tan =3/2), x,2,+y,2,的最大值为,14+2,，最小值为,14- 2,。,(2) x+y= 3+cos+ 2+sin=5+ sin,（, +,）, x+y,的最大值为,5+,，最小值为,5 -,。,(3),显然当,sin,（,+,）,= 1,时，,d,取最大值，最,小值，分别为,， 。,例,4,、,将下列参数方程化为普通方程：,(1),(2),(3),x=t+1/t,y=t,2,+1/t,2,（,1,）（,x-2,）,2,+y,2,=9,（,2,）,y=1- 2x,2,（,- 1x1,）,（,3,）,x,2,- y=2,（,X2,或,x- 2,）,步骤：,（,1,）消参；,（,2,）求定义域。,小 结,:,1,、圆的参数方程,2,、参数方程与普通方程的概念,3,、圆的参数方程与普通方程的互化,4,、求轨迹方程的三种方法：相关点点问题（代入法）； 参数法；定义法,5,、求最值,x,y,A,C,B,O,