函数的极值与导数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.2,函数的极值,与导数,杨德奎,a,b,y=f(x),x,o,y,y=f(x),x,o,y,a,b,f,(,x,)0,f,(,x,)0,那么函数,y=f(x),在为这个区间内的,增函数,;,如果在这个区间内,f,(,x,)0,那么函数,y=f(x),在为这个区间内的,减函数,.,一、知识回顾,:,如果在某个区间内恒有,则 为常数,.,求函数单调区间的步骤,第,1,步：,求函数的导函数；,第,2,步：,求导函数的零点,(,如果导函数在定义域上非正或非负,直接判断增减,),；,第,3,步：,用导函数的零点将函数的定义域分成若干个区间,(,导函数不存在的点也要作为划分区间的端点考察,),；,第,4,步：,通过导函数在各个区间的符号确定函数单调区间,.,特别注意,:,原函数的定义域,关注用导数本质及其几何意义解决问题,思考,1,：,观察下图，当,t=t,0,时,运动员距水面的高度最大,那么函数,h,（,t,）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？,关注用导数本质及其几何意义解决问题,问题,2,：,我们知道正弦函数的五点作图法是利用函数的五个关键点作出图形的,利用图象的关键点与导数的关系,你能作出函数,的图象吗,?,上述作图中，图象的关键点十分重要，这些关键点与函数的导数有何联系？我们将进行研究,函数的极值与导数,二、新课,函数的极值,:,o,a,X,1,X,2,X,3,X,4,b,a,x,y,如图,:,探索思考：,y=f(x),在这些点的导数值是多少？在这些点附近，,y=f(x),的导数的符号有什么规律？,o,a,X,1,X,2,X,3,X,4,b,a,x,y,如图,:,探索思考：,函数在,X,2,处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，,f,(,X,2,)=,0,，而且在,X,=,X,2,的左侧,f,(,x,)0.,我们把点,X,1,叫做,y=f(x),的极大值点,f (,X,1,),叫函数,y=f(x),的极大值,;,点,X,2,叫做,y=f(x),的极小值点,f (,X,2,),叫函数,y=f(x),的极小值,;,以,X,1,，,X,2,两点为例：函数在,X,1,处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，,f,(,X,1,)=0,而且在,X,=,X,1,的左侧,f,(,x,)0,，,右侧,f,(,x,)0,右侧,f,/,(x)0 ,那么,f(x,0,),是极大值,;,(2):,如果在,x,0,附近的左侧,f,/,(x)0 ,那么,f(x,0,),是极小值,.,解方程,f,/,(x)=0.,当,f,/,(x)=0,时,:,注意：,极值可能在函数不可导的点取到,.,如：,故当,x=-a,时,f(x),有极大值,f(-a)=-2a;,当,x=a,时,f(x),有极小值,f(a)=2a.,（,注：利用奇函数求更易,）,解,:,函数的定义域为,令,解得,x,1,=-a,x,2,=a(a0).,当,x,变化时, ,f(x),的变化情况如下表,:,思考：函数的极大值一定大于极小值吗？,补充例题,2,:,已知函数,f(x)=x,3,+ax,2,+bx+a,2,在,x=1,处有极值为,10,求,a,、,b,的值,.,解,: =3x,2,+2ax+b=0,有一个根,x=1,故,3+2a+b=0.,又,f(1)=10,故,1+a+b+a,2,=10.,由,、解得 或,当,a=-3,b=3,时, ,此时,f(x),在,x=1,处无,极值,不合题意,.,当,a=4,b=-11,时,-3/11x1,时, ,此时,x=1,是极,值点,.,从而所求的解为,a=4,b=-11.,练习,3,:,求函数 的极值,.,解,:,令,=0,解得,x,1,=-1,x,2,=1.,当,x,变化时, ,y,的变化情况如下表,:,因此,当,x=-1,时有极大值,并且,y,极大值,=3;,而,当,x=1,时有极小值,并且,y,极小值,=- 3.,练习,2,求下列函数的极值点：,补充例,4,:,已知函数,f(x)=-x,3,+ax,2,+b.,(1),若函数,f(x),在,x=0,x=4,处取得极值,且极小值,为,-1,求,a,、,b,的值,.,(2),若,函数,f(x),图象上的任意一点的切线,斜率为,k,试讨论,k,-1,成立的充要条件,.,解,:(1),由 得,x=0,或,x=2a/3.,故,4a/3=4, a=6.,由于当,x0,时,故当,x=0,时, f(x),达到极小值,f(0)=b,所以,b=-1.,(2),等价于当 时,-3x,2,+2ax,-1,恒成立,即,g(x)=,3x,2,-2ax-1,0,对一切 恒成立,.,由于,g(0)=-10,故只需,g(1)=2-2a,0,即,a,1.,反之,当,a1,时,g(x)0,对一切 恒成立,.,所以,a1,是,k-1,成立的充要条件,.,解法,2:,分离变量也可通过函数值域求出,a,的范围,.,(2),等价于当 时,-3x,2,+2ax,-1,恒成立,即,2ax,3x,2,-1,恒成立，显然当,x=0,时，不等式恒成立,当 时，不等式化为,令,反之,当,a1,时,g(x)0,对一切 恒成立,.,所以,a1,是,k-1,成立的充要条件,.,作业,P31-32:,5.,做在作业本上,