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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,方程求根,1,历史背景,代数方程的求根问题是一个古老的数学问题。理论上，n次代数方程在复数域内确定有,n个根(考虑重数)。早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式，但直到19世纪才证明大于等于5次的一般代数方程式不能用代数公式求解，而对于超越方程就困难的多，假如有解，其解可能是一个或几个，也可能是无穷多个。一般也不存在根的解析表达式。因此须要探讨数值方法求得满足确定精度要求的根的近似解。,2,根的概念,给定方程 f (x)=0，假如有a使得f(a)=0，则称a为 f(x) =0的根 或f(x)的零点.,设有正整数m使得f(x)=(x-a)mg(x)且g(a) 0 ，,则当m=2时，称a为f(x)=0的m重根；,当m=1时，称为f(x)=0的单根.,本章只探讨实根的求法.,3,重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法, 简洁介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,很多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机精彩完成.,4,零点定理：,设 ，且 ，则方程 在区间 上至少有一个根。假如 在 上恒正或恒负，则此根唯一。,零点定理,5,等步长扫描,用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h0是给定的步长，取 ，,若 则扫描成功；否则令,，,接着上述方法，直到成功。假如 则扫描,失败。再将h 缩小，重复以上步骤。,6,例题,例 设方程,解：取,h,=0.1,扫描得：,又,即 在 有唯一根。,7,设有非线性方程 f (x) =0,其中， f (x)为 a ,b 上连续函数且设,f (a) f (b)1重根，则,此时Newton法仅有线性收敛速度.,31,2.4.3,Newton,法收敛的充分条件,32,Newton迭代法收敛性,证明： 根的,存在性,根的,唯一性,33,34,.牛顿阶导数法,35,牛顿阶导数法,迭代公式,36,由前例可知其为阶收敛。,37,牛顿阶导数法,由前例可知其为阶收敛。,38,2.5 割线法几何示意图,(a) 单点割线法 (b) 变端点弦截法,39,2.5 割线法,Newton迭代法有一个较强的要求是 存在,且 ,因此用弦的斜率近似的替代 。,40,割线法,解得弦与 轴的交点是坐标,41,割线法,42,例 用双点割线法求方程在区间 内的实根。,解：取 代入公式,计算结果,如下表所示：,43,k,x,k,f(x,k,),0,1,-1,1,2,5,2,1.166666667,-0.57870369,3,1.253112023,-0.28536302,4,1.337206444,0.053880579,5,1.323850096,-0.0036981168,6,1.324707936,-4.273521*10E-5,7,1.324717965,3.79*10E-8,44,2.5.3 割线法收敛的速度,45,将,Newton,迭代中的导数，用差商代替，有格式,是,2,步格式。收敛速度比,Newton,迭代慢,x,0,x,1,割线,切线,46,x,0,x,1,切线,割线,47,几何说明,48,
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