3.1数值积分公式的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,数值积分,-,函数插值的直接应用,背景：,在工程计算中，常需要计算定积分：,从微积分中可知，利用,Newton-Leibnitz,公式去计算的定积分是,很少的,。原因是，,面临着实际困难：,例如：,（情形,1.,）,1,）被积函数的原函数无法利用初等函数表示。,考虑一个实际问题,:,建筑上用的一种,铝制波纹瓦,是用一种机器将,一块平整的铝板,压制而成的,.,4,英尺,1,英寸,有解析表达式,；,f,(,x,),的原函数,F,(,x,),可用初,等函数表示,上述积分称为,第二类椭圆积分,它不能用原函数方法来计算,.,假设要求波纹瓦长,4,英尺（,=48,英寸,），每个波纹的高度（从中心线）为,1,英寸，且每个波纹以近似,2,英寸为一个周期。,求制作一块波纹瓦所需铝板的长度,L,？,这个问题就是：,要求由函数,f,(,x,)=sin,x,给定的曲线，从,x,=0,到,x,=48,英寸间的弧长,L.,由微积分学我们知道，所求的弧长可表示为,2,）即使可表示，但原函数过于复杂，也不便于计算其函数值。,这些都说明：,通过原函数来计算定积分有它的,局限性,，因此，有必要：,利用给定的条件,，研究定积分的近似计算问题,！,4,）被积函数本身都没有具体的解析表达式（例如，是由实验测量或数值计算给出的数据表）。,一、求积公式的具体构造问题,几何意义：,求定积分就是求曲边梯形的面积，即由,x=a,，,x=b,，,y=0,，,y=f(x),所围成的曲边梯形的面积。,x,y,a,b,y=f,(,x,),3,）即使可表示，但求原函数比较困难。,困难：,曲边梯形有一条边,y=f(x),是曲线的。,提出问题：,可能的条件：,曲边,y=f(x),在某些节点 上的函数值 。,由积分中值定理可知：,也就是说,，底为,b,-,a,，而高度为 的矩形面积,恰等于,所求曲边梯形的面积。 称为,区间,a,b,上的平均高度。,困难：,点 的具体位置一般是不知道的，因而难以准确计算出 的值！,逼近的想法！,工具：,只要对平均高度 提供一种算法,(,估计,),，相应地便获得,一种数值求积方法,！,例如：,简单地， 分别取成：,这样建立的求积公式分别是：,矩形公式,！从多视角,分析上面公式背后隐藏的想法？,Taylor,展开式,推广：,然后，,构造出具有如下形式的求积公式：,=,I,n,(,f,),使积分公式,具有通用性,这类数值积分方法通常称作,机械求积,， 其特点是将,积分求值问题,归结为,函数值的计算,，这就避开了牛顿,莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难！,两个问题：,1,、,系数,A,i,如何选取？（,即选取原则？,）,2,、,若节点可以自由选取，取什么点比较好？,二、,精确性程度的衡量标准问题,引入代数精度的概念,数值求积方法是近似方法，为保证精度，我们自然希望求积公式能对“,尽可能多,”,的函数,准确地成立，这就提出了所谓,代数精度的概念,定义,1,如果求积公式对一切次数,m,的多项式都准确地成立，但对于,m,+1,次多项式就不一定准确，则称求积公式具有,m,次代数精度,一般地，欲使求积公式 具有,m,次代数精度，只要令它对于,f,(,x,) = 1,，,x,，,，,x,m,都能准确成立，即得,若求积节点 给定，则可确定相应的求积系数 ，使求积公式至少具有,m=,n,次代数精度！,这是一个具有,2,n,+2,个未知数，,m,+1,个方程的方程组。,构造求积公式本质上是解线性方程组的问题！,解,:,令公式对,f,(,x,)=1,x, x,2,均准确成立,则有,3,h=,A,0,+,A,1,+,A,2,h,2,=,0 +,A,1,h,+,A,2,2,h,9,h,3,=,0 +,A,1,h,2,+,A,2,4,h,2,2,9,故求积公式的形式为,解之得,A,0,= h,A,1,=0,A,2,=,h.,9,4,3,4,f,(,x,)d,x,f,(0) +,f,(2,h,),3,h,4,9,h,4,3h,0,由公式的构造知,公式,至少,具有,2,次代数精度,;,而当,f,(,x,)=,x,3,时,公式的左边,=,h,4,右边,=,18,h,4,公式的,左边,右边,说明此公式对,f,(,x,)=,x,3,不能准确成立,.,因此,公式只具有,2,次代数精度,.,81,4,例子：,试构造形如,f,(,x,)d,x,A,0,f,(0)+,A,1,f,(,h,)+,A,2,f,(2,h,),的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数,.,3h,0,思考,验证,求积公式的,代数精确度次数,三、求积公式的收敛性与稳定性,定理,3,表明,，只要求积系数,A,k,0 (,k,0,1,n,),，就能保证计算的稳定性,定义,2,在求积公式 中，若,其中 ，则称,求积公式是收敛的,由于计算,f,(,x,k,),可能有误差,实际得到,定义,3,对任给,e,0,，若,(,k=,0,1, ,n,),就有,则称,求积公式是稳定的,.,定理,3,若求积公式,(1.3),中系数,A,k,0 (,k,0,，,1,，,，,n,),，则此求积公式是稳定的,误差可控！,定义表明,只要被积函数,f(x),的误差充分小，积分和式的误差限就可任意小，则,(1.3),就是数值稳定的,.,插值型求积公式,2. Newton - Cotes,求积公式,求积节点等距分布的插值型求积公式,问题：,事先选定求积节点，如何确定求积系数,A,i,？,思路,利用,插值多项式,，,则积分易算。,A,k,四、求积误差估计问题,由,节点,决定，,与 无关。,如果求积公式是插值型的,按求积余项,对于次数,n,的多项式,f,(,x,),，其余项,E,f,等于,0,，因而,求积公式至少具有,n,次代数精度,反之，,显然！,它是衡量求积公式,好坏的重要标志！,定理,1.1,：,形如 的求积公式至少有,n,次代数精度,该,公式为,插值型,（即：,）,例,.,试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高,.,解,:,所以该求积公式具有,3,次代数精确度,为便于计算，一般取,等距节点,得到近似公式,:,一、,Newton-Cotes,（牛顿,-,柯特斯）,公式,1,、,对于,a,b,上,1,次插值，有,x,y,a,b,y=f,(,x,),从而有,上式称为,梯形公式,。,（代数精度,=,1,）,由,Lagrange,插值的截断误差：,对上式两端积分，有,于是,不变号,二阶导连续,积分中值,定理,随区间长度的,增大而增大,2,、,把,a,b,二等分，作,2,次插值，有,此公式称为,辛普森（,Simpson,）公式,。,（代数精度,=,3,）,即,其中，,（区间二等分！,3,点插值）,由,Lagrange,插值的截断误差：,对上式两端积分，有,于是,不变号？,三阶导连续,变号！,不能像前面的例子那样，直接使用,“,积分中值定理,”,了！,怎么办？,显然，,求积公式的截断误差,可,写成如下形式：,为了估计误差，我们构造辅助多项式 ，使得,于是，,求积公式的截断误差,又可,写成：,但,由于,Simpson,求积公式具有,3,次代数精度，故有,因此，,求积公式的截断误差,又又可,写成：,根据,Hermite,插值理论，有,于是,有,四阶导连续,不变号？,不变号！,根据,积分中值定理，就得到,Simpson,公式的余项：,求积分：,！,于是,，就得到,Simpson,公式的余项：,3,、,把,a,b,n,等分，即节点,等距分布,：,构造,n,次插值多项式,L,n,(,x,),，用插值,L,n,(,x,),的积分近似,f,(,x,),的积分，有,其中，,令,Cotes,系数,注：,Cotes,系数仅只与权函数、积分区间和插值节点有关，可查表得到。与而 被积函数,f,(,x,),无关！,当,n,=4,时, Newton-Cotes,公式特别称作,Cotes,（柯特斯）,公式,其形式为,可以证明：,Cotes,系数具有对称性,！,（区间四等分！,5,点插值）,Cotes,系数具有对称性,！,二、偶数阶,Newton-Cotes,公式的代数精度,作为插值型的求积公式，,n,阶的牛顿,-,柯特斯公式至少具有,n,次的插值精度（定理,1,）。实际的代数精度还可进一步提高，一般地，可以证明下述定理,:,定理,2,当阶,n,为偶数时，牛顿,-,柯特斯公式,至少有,n+,1,次代数精度,.,=0,令,令,n,=2,k,有,令,u=t-k,，,做积分变换，有,令,，则,=-,H,(,u,),H,(,u,),是奇函数,=0,2k+1,项！,