专题四测度与可测函数

专 题 四 直 线 上 点 集 的 勒 贝 格 测度 与 可 测 函 数勒 贝 格 测 度 与 勒 贝 格 可 测 集可 测 函 数测 度 ： 欧 氏 空 间 中 长 度 、 面 积 和 体 积 概 念 的 推 广可 测 函 数 列 的 极 限 问 题 一 、 点 集 的 勒 贝 格 测 度 与 可 测 集1.几 个 特 殊 点 集 的 测 度(1)设 E为 直 线 R上 的 有 限 区 间 a,b(或 (a,b)或 a,b)或 (a,b） 则 其 测 度 定 义 为 ： m(E)=m(a,b)=b-a.(2) 设 E为 平 面 上 有 界 闭 区 域 D, 则 其 测 度 定 义 为 : m(E)=SD(4) 若 E=， 则 定 义 m(E)=m()=0(3) 设 E为 空 间 上 有 界 闭 区 域 , 则 其 测 度 定 义 为 :m(E)=V (6) 若 E为 一 随 机 事 件 ， 则 定 义 m(E)=P(E) (古 典 概 率 ）(5) 若 E=x是 单 点 集 ， 则 定 义 m(E)=0 2.直 线 上 非 空 有 界 开 集 与 有 界 闭 集 的 测 度定 义 1 设 G为 直 线 R上 的 有 界 开 集 (即 (a,b)G), (ai,bi)(iI)为 G的 构 成 区 间 ， 则 定 义 m(G)=(biai) (0m(G)b-a)定 义 2 设 F(a,b)R为 有 界 闭 集 ， G=(a,b)-F, 则 定 义 ：m(F)=(b-a)-m(G)注 : m(F)0, 且 m(F)的 值 与 区 间 (a,b)的 选 取 无 关 . 3.直 线 上 一 般 有 界 点 集 的 勒 贝 格 （ lebesgue)测 度定 义 3 设 ER为 任 一 有 界 集 .(1) (有 界 集 的 外 测 度 )称 一 切 包 含 E的 有 界 开 集 的 测 度的 下 确 界 为 E的 L外 测 度 ， 记 为 m*(E), 即m*(E)=infm(G)|G为 有 界 开 集 , EG(2) (有 界 集 的 内 测 度 )称 一 切 包 含 于 E的 有 界 集 的 测 度的 上 确 界 为 E的 L内 测 度 ， 记 为 m(E), 即m(E)=supm(F)|F为 有 界 闭 集 , FE(3) (有 界 集 的 测 度 ) 如 果 m(E)=m(E), 则 称 E的 内 测 度与 外 测 度 的 共 同 值 为 E的 L测 度 ， 记 为 m(E), 即这 时 ,也 称 E是 勒 贝 格 可 测 集 (简 称 L可 测 集 ) m(E)=m *(E)=m(E) 注 :1)对 于 有 界 开 集 G, 有 m(G)=m*(G)2)对 于 有 界 闭 集 F, 有 m(F)=m(F)3)对 于 任 一 非 空 有 界 集 E, 有 m(E)m*(E) (根 据 定 义 ) 定 理 1 设 X=(a,b)是 基 本 集 (有 界 ), E, EiX(i=1,2,)均 为有 界 可 测 集 ,则 有 EC=X-E、 E1E2、 E1E2、 E1-E2、 Ei、Ei均 可 测 ， 且1) m(E)0, 且 E=时 , m(E)=0 (非 负 性 ) 3) m(E1E2)m(E1)+m(E2) (次 可 加 性 ) 2) 若 E1E2, 则 m(E1) m(E2) (单 调 性 ) m(E2E1)=m(E2)-m(E1) 4. 测 集 的 性 质4) 若 E1E2=, 则 m(E1E2)=m(E1)+m(E2) (有 限 可 加 性 ) 5) 若 E i Ej= (ij, i,j=1,2,), 则 m(Ei)=m(Ei)(可 列 可 加 性 ) 1) 若 E1 E2 Ek, 则 E=Ek可 测 , m(E)=lim m(Ek)定 理 2 设 X=(a,b)是 基 本 集 , Ek是 X上 的 可 测 集 列 。2) 若 E1 E2 Ek, 则 E=Ek可 测 , m(E)=lim m(Ek)定 理 3 设 ER有 界 , 则 E可 测 存 在 开 集 G和 闭 集 F,使 FEG, 且 m (G-F)0, 开 集 G和 闭 集 F,使 FEG, 且 m (G-F)0, 开 集 G E 和 闭 集 FE,使 )()()( FmGmFGm )()()( FGmFmGmm (F)m (E)m (E) m (G) m (E)-m (E)m (G)-m (F)0, 开 集 GE, 使E0EG m (E0) m (G)0, 有 界 集(-x, x)E可 测 , 则 称 E是 可 测 的 . 并 记 ),(lim)( ExxmEm x 注 :1)无 界 点 集 的 测 度 可 能 是 有 限 值 ,也 可 能 是 无 穷 大 . 例 如 , 有 理 数 集 Q是 无 界 的 零 测 集 , E=(0,+)是 测 度 为 +的 可 测 集 .2)对 于 无 界 集 ,上 述 定 理 1的 结 论 也 成 立 . 2） L可 测 集 类 与 波 赖 尔 (Borel)集定 义 5 (1) R中 所 有 L可 测 集 构 成 的 集 合 称 为 L可 测 集 类 .(2) 对 R中 的 开 集 和 并 集 进 行 至 多 可 列 次 的 交 、并 、 差 运 算 所 得 到 的 集 合 称 为 波 赖 尔 (Borel)集 . 所 有 波 赖 尔 (Borel)集 都 是 L可 测 集 .注 ： 大 多 数 集 合 都 是 L可 测 集 ， 但 L不 可 测 集 确 实 存 在 . 二 、 点 集 上 的 勒 贝 格 可 测 函 数1.可 测 函 数 的 定 义定 义 6 设 ER为 任 一 可 测 集（ 有 界 或 无 界 ） , f(x)为 定 义在 E上 的 实 值 函 数 .若 R, E的 子 集 E(f)=x|f(x), xE都 是 L有 限 可 测 集 , 则 称 f(x)是 E上 的 L可 测 函 数 E(f)=x 1,x2x3,bE(f)=x4,x5 xof(x)a bx1 x2 x3 x4x5 2.函 数 可 测 的 充 分 必 要 条 件定 理 4 f(x)在 可 测 集 E上 的 可 测 函 数 ， 即 E(f)可 测, R, E(f)=x|f(x) , xE可 测 R, E(f=)=x|f(x)=, xE可 测R, E(f)=x|f(x)=x|f(x), xE可 测 证 : (1) E(f)=E(f)-E(f)可 测 E(f)= E(f)(4) E(f)=f)=E(f+1/n), E(f)=E(f 1/n) 例 5 定 义 在 R上 连 续 函 数 都 是 L可 测 函 数 . f(x)连 续 x0E(f)R, f(x)f(x0) (xx0)O(x0,), 使 xO(x0,), 有 f(x)， 即 x E(f) (极 限 保 号 性 ）证 ： x0E(f)f(x0)(只 要 证 明 R, 集 E(f)是 开 集 , 则 它 一 定 是 可 测 集 )f(x)是 可 测 函 数O(x0, )E(f)x0 是 E(f)的 内 点 ， E(f)是 开 集E(f)是 可 测 集 例 6 区 间 0,1上 的 狄 里 克 来 函 数 D(x)是 L可 测 函 数 .证 :D(x)= 1, x为 0,1中 的 有 理 数0, x为 0,1中 的 无 理 数当 1时 , E(D)=是 可 测 集 , 当 0时 , E(D)=0,1是 可 测 集 . 因 此 , D(x)是 L可测 函 数当 0)=x| x为 0,1中 的 有 理 数 是 可 测 集 , 例 7 定 义 在 零 测 集 E上 的 任 何 函 数 f(x)都 是 L可 测 函 数 .证 : R, E(f)=x|f(x), xEE f(x)是 可 测 函 数m(E(f)=0m(E(f)m(E)=0E(f)也 是 零 测 集 例 8 集 E的 特 征 函 数 E(x)是 R上 的 可 测 函 数 .证 : E(x)= 1, xE0, xE定 理 6 f(x)、 g(x)是 E上 的 可 测 函 数 kf(x)、 f(x) g(x)、 f(x)g(x)、 f(x)/g(x)(g(x)0)、及 f(x)都 E上 的 可 测 函 数当 1时 , E(E)=是 可 测 集 , 当 0时 , E(E)=R是 可 测 集当 00, xE, N=N(), 当 nN时 , 有 fn(x)-f(x)0, xE, N=N(x, ),当 nN时 , 有 fn(x)-f(x)N时 , 曲线 列 fn(x)的 图 形 都 在 曲线 f(x)的 带 形 邻 域 内 . f(x)fn(x)o xy a b fn(x)=xno xy x1 1x2n=1n=2n=10 n=20 x(0,1)时 , fn(x)=xn0 (n)fn(x)=xn 0 (n) xNnxn lnln0 N既 与 有 关 ,又 与 x有 关 ,要 使 曲 线 fn(x)=xn上 的 对 应点 落 到 极 限 函 数 f(x)=0的 带 形 邻 域 内 ,在 x1处 ,只 要 n2即 可 ,而 在 x2处 ,则 要 n10才 行3) fn(x)一 致 收 敛 于 f(x)fn(x)一 处 处 敛 于 f(x), 反 之不 然 。 例 如 在 点 集 E上 , 函 数 列 fn(x)一 致 收 敛 于 f(x)例 证 明 函 数 列在 E=0.1上 一 致 收 敛 于 0. ,.2,1,1)( 22 nxnxxfn证 : 21 21210)(0 22Nn nnxxxnxxfn定 理 6 (柯 西 定 理 ) xE, fn(x)是 基 本 列 。0, xE, N=N(), 当 m, nN时 , 有 fm(x)-fn(x)0, lim m(Exfn(x)-f(x)=0fn(x)在 集 E上 依 测 度 收 敛 于 f(x)0, 0, N, 当 nN时 , 有 m(E(fn(x)-f(x)0, 可 测 子 集 E E, 使 m(E-E), 且 fn(x)在 E 上 一 致 收 敛 于 f(x), 则 称 fn(x)在 E上 近 一 致 收 敛 于 f(x) m记 作 fn(x)f(x) (n) 定 理 10 设 fn(x)是 可 测 集 E上 的 几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函数 列 , f(x)是 定 义 在 E上 的 几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函 数 , 且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 则定 理 11 (Riesz定 理 ) 设 m(E), 则fn(x)在 E上 依 测 度 收 敛 于 f(x)子 列 fnk(x)fn(x), 使 fnk(x)f(x) (a.e.) (k)(2) fn(x)在 E上 依 测 度 收 敛 于 f(x). (勒 贝 格 定 理 ) (1)fn(x)在 E上 近 一 致 收 敛 于 f(x). (叶 果 洛 夫 定 理 ) fn(x)几 乎 处 处 收 敛 于 f(x)fn(x)近 一 致 收 敛 于 f(x) fn(x)依 测 度 收 敛 于 f(x)fn(x)中 存 在 几 乎 处 处 收 敛 于 f(x)的 子 列 fnk(x)fn(x)处 处 收 敛 于 f(x)fn(x)一 致 收 敛 于 f(x)4 函 数 列 的 各 种 收 敛 之 间 的 关 系