中值定理证明题20141229

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,二、 导数应用,习题课,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第,三,章,拉格朗日中值定理,一、 微分中值定理及其应用,1.,微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,泰勒中值定理,柯西中值定理,2.,微分中值定理的主要应用,(1),研究函数或导数的性态,(2),证明恒等式或不等式,(3),证明有关中值问题的结论,3.,有关中值问题的解题方法,利用,逆向思维,设辅助函数,.,一般解题方法,:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2),若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3),若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数,.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯,西中值定理,.,必须,多次应用,中值定理,.,(4),若已知条件中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,(5),若结论为不等式,要注意,适当,放大,或,缩小,的技巧,.,有时也可考虑,对导数用中值定理,.,题型小结,1.,应用洛必达法则求未定式的极限,3.,最大值、最小值及应用,2,.,函数性态的研究及作图,4.,函数方程根的讨论,根的存在性，根的唯一性，根的个数,函数的单调性与函数的凹凸性，极值、极值点及拐点,5.,等式、不等式的证明,微分中值定理，利用函数的性态（单调性，凹凸性，极值，最值）,例,1.(1),选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论：,分析：,由拉格朗日中值定理得：,B,单调增加,在,P182 2,例,1. (2),(3),证,:,例,2.,设函数 在,上有三阶导数，且 ，,又函数 ，证明在 内至少存在一点 ，,使得 ,证,由条件知函数 在区间 上三阶可导，因,故,存在点 ，使得 ，,由此得 ，所以存在 ，使得,又 ，得 ，,由此得 ，使得,例,3.,设函数 在 上连续，在 内二阶可,导，且 ，,证明：至少存在一点 ，使得 ,证,由拉格朗日中值定理知，存在 ，使得,同理，存在 ，使得,在,区间 上再一次使用拉格朗日中值定理，知存在,，使得,例,4.,证,分析,问题转化为证,例,4.,设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证,:,问题转化为证,设辅助函数,显然,在, 0 , 1 ,上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,例,4.,设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,分析,问题转化为证,设辅助函数,卸磨杀驴，脱掉对数函数,.,例,5.,设函数,在,上连续,，,在,内可,导，且,证明：至少存在一点,，使得,设辅助函数,则,由零点定理,证,:,问题转化为证,至少存在一点,知存在,例,5.,设函数,在,上连续,，,在,内二阶可,导，且,证明：至少存在一点,，使得,分析,结论转化为,设辅助函数,知存在最大值点,则由,费马引理得,例,5.,设函数,在,上连续,，,在,内二阶可,导，且,证明：至少存在一点,，使得,设辅助函数,知存在最大值点,则由,费马引理得,证,:,问题转化为证,至少存在一点,设,函数 在 上连续,在 内可导,试证在,内至少存在一点,使,成立,.,分析：,将所证等式变形为 或,可见，应对,与,在 上应用,证明,:,设,由题设知,与,在,上满足,柯西中值定理的条件。由柯西中值定理可知，,柯西中值定理,.,P182 8,例,6.,总结：利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的特点，寻找合适的定理及相应的辅助函数。步骤如下：,（,1,）,构造辅助函数；,（,2,）确定区间；,（,3,）验证定理条件。,亦即,在,内至少存在一点,使,即,例,7.,设,在,上可导,且,证明,f,(,x,),至多只有一个零点 .,证,:,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点,.,又因,因此,也,至多只有一个零点 .,思考,:,若题中,改为,其他不变时,如何设辅助函数,?,例,8.,设,在,上,存在,且单调,递减,有,证,:,设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立,.,证明对一切,例,9,证,不妨设,例,10.,证明,：,从而,f,(,x,),在 内单调增加,因此当 时,f,(,b,) ,f,(,a,),0,即,例,10.,证明,：,例,11.,设实数,满足下述等式,证明方程,在,( 0 , 1),内至少有一,个实根,.,证,:,令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,3.,已知函数,内可导,且,证,:,(1),令,故存在,使,即,(2005,考研）,内可导,且,(2),根据拉格朗日中值定理,存在,使,3.,已知函数,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,4.,设函数,证,:,据泰勒定理,存在,使,由此得,即有,(2007,考研）,情形,1,.,则有,内具有二,阶导数,且存在相等的最大值,并满足,情形,2,.,因此据零点定理,存在,即有,则有,4.,设函数,应用罗尔,定理得,内具有二,例,1.,设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界,.,证,:,取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(,定数,),可见对任意,即得所,证,.,例,3.,且,试证存在,证,:,欲证,因,f,(,x,),在,a,b,上满足拉氏中值定理条件,故有,将,代入,化简得,故有,即要证,例,5.,设,函数,f,(,x,),在, 0, 3 ,上连续,在,( 0, 3 ),内可导,且,分析,:,所给条件可写为,(2003,考研,),试证必存在,想到找一点,c,使,证,:,因,f,(,x,),在,0, 3,上连续,所以在, 0, 2 ,上连续,且在, 0, 2 ,上有最大值,M,与最小值,m,故,由,介值定理,至少存在一点,由,罗尔定理,知,必存在,例,8.,证明,在,上单调增加,.,证,:,令,在,x ,x,+1 ,上利用拉氏中值定理,故当,x, 0,时,从而,在,上单调增,.,得,例,1,设在 上， ，证,明函数,在 上是单调增加的,证,当 时，有,根据拉格朗日中值定理,是单调增加的因而,故,故,在 上是单调增加的,例,1,设在 上， ，证,明函数,在 上是单调增加的,证,当 时，有,因而,故,是单调增加的因而,在 上是单调增加的,证明,:,存在,使,设,可导，且,在,连续，,证,:,设辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,使得,练习,例,5.,设,至少存在一点,使,证,:,问题转化为证,设,则,在,0, 1,上满足柯西中值,定理条件,因此在,( 0 , 1 ),内至少存在一点,使,即,证明,证,:,因为,中值定理条件,因为,A,B,C,三点在一条直线上，所以,由,因此应有,满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,知至少存在一点,使,例,5.,设,证明在,(a,b),内至少存在一点,使得,的图形与联结,A(a,f(a),B(b,f(b),两点的弦交于点,C(c,f(c),2.,设,且在,内,可导,证明至少存,在一点,使,提示,:,由,结论可知,只需证,即,验证,在,上,满足罗尔定理条件,.,设,例,5.,试证至少存在一点,使,证,:,法,1,用柯西中值定理,.,则,f,(,x,) ,F,(,x,),在, 1 , e ,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析,:,例,5.,试证至少存在一点,使,法,2,令,则,f,(,x,),在, 1 , e ,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,