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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第一节坐标系,1,总纲目录,教材研读,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,考点突破,2.,极坐标系与极坐标,3.,极坐标与直角坐标的互化,考点二极坐标方程与直角坐标方程的互化,考点一平面直角坐标系中的伸缩变换,4.,常见曲线的极坐标方程,考点三曲线极坐标方程的应用,2,1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,设点,P,(,x,y,)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换,:,的作用下,点,P,(,x,y,)对应到点,P,(,x,y,),称,为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.,教材研读,3,2.极坐标系与极坐标,(1)极坐标系,如图所示,在平面内取一个,定点,O,叫做极点,自极点,O,引一条,射线,Ox,叫做极轴;再选定一个,长度单位,、一个,角度单位,(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极,坐标系.,4,(2)极坐标,(i)极径:设,M,是平面内一点,极点,O,与点,M,的,距离,|,OM,|叫做点,M,的,极径,记为,.,(ii)极角:以极轴,Ox,为始边,射线,OM,为终边的角,xOM,叫做点,M,的极角,记,为,.,(iii)极坐标:有序数对(,)叫做点,M,的极坐标,记为,M,(,).,5,3.极坐标与直角坐标的互化,设,M,是平面内任意一点,它的直角坐标是(,x,y,),极坐标是(,),则它们之间,的关系为,6,4.常见曲线的极坐标方程,曲线,图形,极坐标方程,圆心在极点,半径为,r,的圆,=,r,(0,2),圆心为(,r,0),半径为,r,的圆,=2,r,cos,-,圆心为,半径为,r,的圆,=2,r,sin,(0,),过极点,倾斜角为,的直线,(1),=,(,R),或,=+,(,R),;,(2),=,和,=+,过点(,a,0),与极轴垂直的直线,cos,=,a,-,过点,与极轴平行的直线,sin,=,a,(0,),7,1.曲线,y,=sin,x,经过变换,后得到曲线,C,则曲线,C,的周期,T,和,y,max,分,别为,(),A.,T,=,y,max,=3B.,T,=4,y,max,=3,C.,T,=,y,max,=,D.,T,=4,y,max,=,答案,A由,得,将其代入,y,=sin,x,得,y,=sin 2,x,即,y,=3sin 2,x,.,即曲线,C,的解析式为,y,=3sin 2,x,故,T,=,=,y,max,=3,故选A.,A,8,2.在极坐标系中,A,B,两点间的距离为,(),A.2B.3,C.6D.3,C,9,答案,C解法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B,两点如图所示,|,AB,|=,|,OA,|+|,OB,|=6.,解法二:,A,B,的直角坐标为,A,即,A,(1,-,),B,即,B,(-2,2,).,|,AB,|=,=,=6.故选C.,10,3.极坐标方程,cos,=2sin 2,表示的曲线为,(),A.一条射线和一个圆,B.两条直线,C.一条直线和一个圆,D.一个圆,C,答案,C由,cos,=2sin 2,=4sin,cos,得cos,=0或,=4sin,.当cos,=0,时,=,(,R),极坐标方程表示一条直线;当,=4sin,时,极坐标方程表示,一个圆.故选C.,11,4.若以直角坐标系的原点为极点,x,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段,y,=1-,x,(0,x,1)的极坐标方程为,(),A.,=,0,B.,=,0,C.,=cos,+sin,0,D.,=cos,+sin,0,A,答案,A,y,=1-,x,化为极坐标方程为,cos,+,sin,=1,即,=,.0,x,1,线段在第一象限内(含端点),0,.故选,A.,12,5.在极坐标系中,直线,cos,-,sin,-1=0与圆,=2cos,交于,A,B,两点,则,|,AB,|=,.,2,答案,2,解析,直线与圆的直角坐标方程分别为,x,-,y,-1=0和(,x,-1),2,+,y,2,=1,则该圆,的圆心坐标为(1,0),半径,r,=1,圆心(1,0)到直线的距离,d,=,=0,所以,AB,为该圆的直径,所以|,AB,|=2.,13,6.在极坐标系中,点,到直线,(cos,+,sin,)=6的距离为,.,1,答案,1,解析,由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点,对应,的直角坐标为(1,),直线,(cos,+,sin,)=6对应的直角坐标方程为,x,+,y,=6,由点到直线的距离公式可得,所求距离为,=1.,14,考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换,典例1,在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换,后,曲线,C,1,:,x,2,+,y,2,=36变为曲线,C,2,.,(1)求,C,2,的方程;,(2),P,、,Q,分别为,C,1,与,C,2,上的点,求|,PQ,|的最小值与最大值.,考点突破,15,解析,(1)设圆,x,2,+,y,2,=36上任一点为,A,(,x,y,),伸缩变换后对应的点的坐标,为,A,(,x,y,),则,4,x,2,+9,y,2,=36,即,+,=1.,曲线,C,2,的方程为,+,=1.,(2),C,1,是以,O,为圆心,半径,r,=6的圆,C,2,是以,O,为中心,长半轴长,a,=3,短半轴,长,b,=2的椭圆(如图).,|,PQ,|,min,=,r,-,a,=6-3=3.|,PQ,|,max,=,r,+,a,=6+3=9.,16,规律总结,求经伸缩变换后曲线方程的方法,平面上的曲线,y,=,f,(,x,)在变换,:,的作用下的变换方程的求法,是将,代入,y,=,f,(,x,),将,=,f,整理之后得到,y,=,h,(,x,),即为所求变换,之后的方程.,17,1-1,在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆,x,2,+,y,2,=1变换为,椭圆,+,=1.,18,解析,设伸缩变换为,由题意知,+,=1,即,x,2,+,y,2,=1.,与,x,2,+,y,2,=1比较系数.,得,故,所以伸缩变换为,即先使圆,x,2,+,y,2,=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来,的3倍,得到椭圆,+,y,2,=1,再将该椭圆上的点的横坐标不变,纵坐标伸长,到原来的2倍,得到椭圆,+,=1.,19,1-2,(2018河北保定质检)若函数,y,=,f,(,x,)的图象在伸缩变换,:,的,作用下得到的曲线方程为,y,=3sin,求函数,y,=,f,(,x,)的最小正周期.,解析,由题意,把变换公式代入曲线方程,y,=3sin,得3,y,=3sin,整理得,y,=sin,故,f,(,x,)=sin,.,所以,y,=,f,(,x,)的最小正周期为,=.,20,典例2,在极坐标系下,已知圆,O,:,=cos,+sin,和直线,l,:,sin,=,.,(,0,0,0),M,的极坐标为(,1,)(,1,0).由题设知,|,OP,|=,|,OM,|=,1,=,.,由|,OM,|,OP,|=16得,C,2,的极坐标方程,=4cos,(,0).,因此,C,2,的直角坐标方程为(,x,-2),2,+,y,2,=4(,x,0).,(2)设点,B,的极坐标为(,B,)(,B,0).由题设知|,OA,|=2,B,=4cos,于是,OAB,面积,S,=,|,OA,|,B,sin,AOB,=4cos,=2,2+,.,当,=-,时,S,取得最大值2+,.,所以,OAB,面积的最大值为2+,.,30,规律总结,在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时,如,果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转,化为直角坐标方程解决.,31,3-1,在直角坐标系,xOy,中,半圆,C,的直角坐标方程为(,x,-1),2,+,y,2,=1(0,y,1).以,O,为极点,x,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.,(1)求,C,的极坐标方程;,(2)直线,l,的极坐标方程是,(sin,+,cos,)=5,射线,OM,:,=,与半圆,C,的,交点为,O,P,与直线,l,的交点为,Q,求线段,PQ,的长.,32,解析,(1)因为,x,=,cos,y,=,sin,所以半圆,C,的极坐标方程是,=2cos,.,(2)设(,1,1,)为点,P,的极坐标,则有,解得,设(,2,2,)为点,Q,的极坐标,则有,解得,由于,1,=,2,所以|,PQ,|=|,1,-,2,|=4,所以线段,PQ,的长为4.,33,3-2,在直角坐标系,xOy,中,以,O,为极点,x,轴非负半轴为极轴建立极坐标,系.设,C,的极坐标方程为,=2sin,点,P,为,C,上一动点,点,M,的极坐标为,点,Q,为线段,PM,的中点.,(1)求点,Q,的轨迹,C,1,的方程;,(2)试判定轨迹,C,1,和,C,的位置关系,并说明理由.,34,解析,(1)由,C,的极坐标方程为,=2sin,得,2,=2,sin,所以,C,的直角坐标方程为,x,2,+,y,2,-2,y,=0,又点,M,的极坐标为,所以点,M,的直角坐标为(0,4).,设点,P,(,x,0,y,0,),点,Q,(,x,y,),则有,+(,y,0,-1),2,=1.,(*),因为点,Q,为线段,PM,的中点,所以,代入(*)得轨迹,C,1,的方程为,x,2,+,=,.,35,(2)轨迹,C,1,和,C,外切,理由如下:,因为,C,的直角坐标方程为,x,2,+(,y,-1),2,=1,圆心为(0,1),半径为1,而轨迹,C,1,是,圆心为,半径为,的圆,所以两圆的圆心距为,等于两圆半径和,所以两圆外切.,36,
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