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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方程的定解问题实质上都反映场与产生这个场的源之间的关系。例如，波动方程反映时变电磁场与电荷电流分布之间的关系，热传导方程反映温度场与热源之间的关系，泊松方程反映静电场与电荷分布的关系，等等。由于这些 场源都可以看作点源的叠加，因此当知道一个点源的场，就可以利用叠加原理求出在同样边界条件下的任意源的场。这种处理方法的根据是，上述方程都是线性偏微分方程，它们的解遵守叠加原理。这种求解数学物理方程的方法称为格林函数法，在一定边界条件下点源的场称为格林函数。,1,第十二章 格林函数 解的积分公式,格林函数,又称点源影响函数,是数学物理中的重要概念,代表,第一节 泊松方程的格林函数法,我们首先来介绍,格林公式,.,设,u(r,),和,v(r,),在区域,T,及其边界,上具有连续一阶导数,而在,T,中具有连续二阶导数,应用矢量分析的高斯定理将曲面积分,化为体积积分,点源的场,可以用叠加的方法计算任意源产生的场,.,一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场,而知道了,2,第一格林公式,同理,两式相减可得,即,其中,表示沿边界 的外法向求导数,第二格林公式,3,讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题,泊松方程,而第一,第二,第三类边界条件可以统一表示为,其中,是区域边界 上的给定函数,为第一,类边界条件,为第二类边界条件,为第三,类边界条件,.,其中,泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题,叫,第一边值问题或狄利希利问题,与第二类边界条件构成的定解,解问题叫,第三边值问题,.,问题叫,第二边值问题或诺依曼问题,与第三类边界条件构成的定,4,为研究点源产生的场,需要找一个能表示点源密度分布的函数,乘,v(r,r,0,),上式乘,u(r,),然后相减在,T,中求积分,应用格林公式将左边的体积分化为面积分,但在点,r=r,0,具有 的奇异性,不能用,先从区域,T,中挖去包含,r,o,的小块,(,半径,为 的小球,的边界为,对于剩下的体积,格林公式就,(*),位于,r,0,点的单位强度的正点源在,r,产生的场,即,v(r,r,0,),满足方程,:,脉冲函数正好描述一个单位正点量的密度分布函数,以,v(r,r,0,),表示,可以应用了,.,5,代入挖去,的公式,(*),且,故,当,方程的解,的点电荷的静电场中的电势,即,可得上式右边,而左边,6,则,(*),成为,:,泊松方程的基本积分公式,7,上述公式将泊松方程的解,u,用区域,T,上的体积分及其边界上的面,在边界,上,的值,但是,在第一边值问题中,知道的只是,u,在边界 上的值,在第,二边值问题中,知道的是 在边界 的值,在第三边值问题中,知道的是,u,和 的线性组合在边界 上的值,都没有同时给出,u,和 在边界 上的值,不能直接应用基本积分公式来解决边,如果我们能对,v(r,r,0,),提出适当的边界条件,就可以解决这个困难,对于第一边值问题,u,在边界 上的值是已知的函数,如果,要求,v,满足齐次的第一类边界条件,值问题,.,积分表示出来,.,若要解决边值问题,需要知道,u,和,8,则基本积分公式中 的一项为零,不需要知道 在边界,上的值,满足,的解称为,泊松方程第一边值问题的格林函数,用,G(r,r,0,),表示,.,则基本积分公式为,对第三边值问题,令,v,满足齐次的第三类边界条件,满足以上边界条件和方程,的解称为,泊松方程第三边值问题的格林函数,用,G(r,r,0,),表示,.,9,G(r,r,0,),乘,得,U,乘,且以,G,代替,v,可得,(1),(2),(1),和,(2),相减得,代入基本积分公式得,10,对于第二边值问题,同样的方法无法解出,因为定解问题,的解不存在,!,如果把这个格林函数看成温度分布,泛定方程右边的 函数,表明 所包围区域,T,中有一个点热源,而边界条件表明边界是,其中,V,T,是,T,的体积，对于二维空间，有,这个问题,引入推广的格林函数,:,区域,T,内的问题不断升高,其温度分布不可能是稳定的,.,为解决,绝热的,这样,点热源不停释放热量,又不能散发出去,必然导致,11,其中,A,T,是,T,的面积，这样添加的项是均匀分布的热汇密度，热汇,在上述两个公式中，左边的,r,0,表示观测点在,r,0,，而右边积分中,利用格林函数的对称性，可得,r,点产生的场，这里就要用到格林函数的对称性，将,r,和,r,0,对调，,的,f(r,),表示源在,r,，可是，格林函数,g(r,，,r,0,),所代表的是,r,0,的点源在,正好吸收了点热源放出的热量，正好相等。,12,第一边值问题解的积分表示式,第三边值问题解的积分表示式,右边第一个积分表示区域,T,中分布的源,f(r,0,),在点,r,产生的场的总和,第二个积分则代表边界上的状况对,r,点场的影响的总和。两项积,对于拉普拉斯方程，,右边的,只要令上述公式右边的体积分为零，就可得到拉普拉斯方程,第一边值问题的解,.,边界条件 下产生的场。,分的格林函数相同，正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的,13,还有第三边值问题的解,.,由以上过程可以看出，借助于格林公式，可以用,格林函数,方法,得到齐次方程定解问题的解。,14,
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