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,2,1.1,椭圆及其标准方程,2,1.1,椭圆及其标准方程,预习导学,挑战自我，点点落实,2,1.1,椭圆及其标准方程,课堂讲义,重点难点，个个击破,2,1.1,椭圆及其标准方程,当堂检测,当堂训练，体验成功,栏目索引,CONTENTS PAGE,第二章,圆锥曲线与,方程,2.1,椭圆,2.1.1,椭圆及其标准方程,学习目标,1.,了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程,.,2.,掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形,1,预习导学,挑战自我，点点落实,2,课堂讲义,重点难点，个个击破,3,当堂检测,当堂训练，体验成功,知识链接,命题甲：动点,P,到两定点,A,、,B,的距离之和,|,PA,|,|,PB,|,2,a,(,a,0,且,a,为常数,),；命题乙：点,P,的轨迹是椭圆，且,A,、,B,是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,若,P,点的轨迹是椭圆，则一定有,|,PA,|,|,PB,|,2,a,(,a,0,，且,a,为常数,),，,所以命题甲是命题乙的必要条件,.,若,|,PA,|,|,PB,|,2,a,(,a,0,，且,a,为常数,),，不能推出,P,点的轨迹是椭圆,.,这是因为：仅当,2,a,|,AB,|,时，,P,点的轨迹是椭圆；,而当,2,a,|,AB,|,时，,P,点的轨迹是线段,AB,；,当,2,a,b,矛盾，故舍去,.,方法二设椭圆方程为,mx,2,ny,2,1(,m,0,，,n,0,，,m,n,).,椭圆过,(2,0),和,(0,1),两点，,规律方法,求椭圆的标准方程时，要,“,先定型，再定量,”,，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可,.,当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在,x,轴上和焦点在,y,轴上进行讨论，但要注意,a,b,0,这一条件,.,当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成,mx,2,ny,2,1(,m,0,，,n,0,，,m,n,),的形式有两个优点：,列出的方程组中分母不含字母；,不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程,.,跟踪演练,1,求适合下列条件的标准方程：,(1),两个焦点坐标分别是,(,3,0),，,(3,0),，椭圆经过点,(5,0),；,解,因为椭圆的焦点在,x,轴上，,所以,a,5,，,c,3,，,所以,b,2,a,2,c,2,5,2,3,2,16.,(2),两个焦点坐标分别是,(0,5),，,(0,，,5),，椭圆上一点,P,到两焦点的距离之和为,26.,解,因为椭圆的焦点在,y,轴上，所以设它的标准方程为,所以,a,13,，,c,5.,所以,b,2,a,2,c,2,144.,要点二椭圆定义的应用,例,2,如图所示，点,P,是椭圆,上的一点，,F,1,和,F,2,是焦点，且,F,1,PF,2,30,，求,F,1,PF,2,的面积,.,又,P,在椭圆上，,由余弦定理知：,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,2|,PF,1,|,PF,2,|cos 30,|,F,1,F,2,|,2,(2,c,),2,4,式两边平方，得,|,PF,1,|,2,|,PF,2,|,2,2|,PF,1,|,PF,2,|,20,规律方法,在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系,.,在解题中，经常把,|,PF,1,|,PF,2,|,看作一个整体来处理,.,跟踪演练,2,已知椭圆的方程为,，椭圆上有一点,P,满足,PF,1,F,2,90(,如图,).,求,PF,1,F,2,的面积,.,在,PF,1,F,2,中，由勾股定理可得,|,PF,2,|,2,|,PF,1,|,2,|,F,1,F,2,|,2,，,即,|,PF,2,|,2,|,PF,1,|,2,4.,又由椭圆定义知,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,2,4,，,所以,|,PF,2,|,4,|,PF,1,|.,从而有,(4,|,PF,1,|),2,|,PF,1,|,2,4.,要点三与椭圆有关的轨迹问题,例,3,已知,B,、,C,是两个定点，,|,BC,|,8,，且,ABC,的周长等于,18.,求这个三角形的顶点,A,的轨迹方程,.,解,以过,B,、,C,两点的直线为,x,轴，线段,BC,的垂直平分线为,y,轴，建立直角坐标系,xOy,，如图所示,.,由,|,BC,|,8,，可知点,B,(,4,0),，,C,(4,0).,由,|,AB,|,|,AC,|,|,BC,|,18,，得,|,AB,|,|,AC,|,10,，,因此，点,A,的轨迹是以,B,、,C,为焦点的椭圆,(,不包括与,x,轴的两交点,),，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和,2,a,10,；,由,a,5,，,c,4,，得,b,2,a,2,c,2,25,16,9.,又因为点,A,不在,x,轴上，,规律方法,利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程,.,特别注意点,A,不在,x,轴上，因此,y,0.,跟踪演练,3,已知圆,A,：,(,x,3),2,y,2,100,，圆,A,内一定点,B,(3,0),，圆,P,过,B,且与圆,A,内切，求圆心,P,的轨迹方程,.,解,如图，设圆,P,的半径为,r,，又圆,P,过点,B,，,|,PB,|,r,.,又,圆,P,与圆,A,内切，圆,A,的半径为,10,，,两圆的圆心距,|,PA,|,10,r,，,即,|,PA,|,|,PB,|,10(,大于,|,AB,|).,点,P,的轨迹是以,A,、,B,为焦点的椭圆,.,2,a,10,2,c,|,AB,|,6.,a,5,，,c,3.,b,2,a,2,c,2,25,9,16.,1.,设,F,1,，,F,2,为定点，,|,F,1,F,2,|,6,，动点,M,满足,|,MF,1,|,|,MF,2,|,6,，则动点,M,的轨迹是,(,),A.,椭圆,B.,直线,C.,圆,D.,线段,解析,|,MF,1,|,|,MF,2,|,6,|,F,1,F,2,|,，,动点,M,的轨迹是线段,F,1,F,2,.,1,2,3,4,D,2.,若方程,表示焦点在,y,轴上的椭圆，则实数,m,的取值范围是,(,),A.,9,m,25 B.8,m,25,C.16,m,8,1,2,3,4,1,2,3,4,即实数,m,的取值范围是,8,m,n,0,”,是,“,方程,mx,2,ny,2,1,表示焦点在,y,轴上的椭圆,”,的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,1,2,3,4,1,2,3,4,答案,C,1,2,3,4,1,2,3,4,则,|,DF,1,|,|,DF,2,|,2,a,6.,D,，,F,1,，,F,2,分别为,MN,，,AM,，,BM,的中点，,|,BN,|,2|,DF,2,|,，,|,AN,|,2|,DF,1,|,，,|,AN,|,|,BN,|,2(|,DF,1,|,|,DF,2,|),12.,答案,12,课堂小结,1.,平面内到两定点,F,1,，,F,2,的距离之和为常数，即,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,，,当,2,a,|,F,1,F,2,|,时，轨迹是椭圆；,当,2,a,|,F,1,F,2,|,时，轨迹是一条线段,F,1,F,2,；,当,2,a,0,，,B,0,，,A,B,),求解，避免分类讨论，从而简化运算,.,
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