教育专题：事件的相互性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2.2事件的相互独立性,什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件,？,两个互斥事件,A,、,B,有一个发生的概率公式是什么？,若,A,与,为对立事件，则,P(A),与,P(,),关系如何？,不可能同时发生的两个事件叫做,互斥事件,；如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫,对立事件,.,P(A+B)=P(A)+(B),P(A)+P(,)=1,复习回顾,如果事件 彼此互斥，那么事件 发生（即 中恰有一个发生）的概率：,条件概率,设事件,A,和事件,B,，且,P(A)0,在已知事件,A,发生的条件下事件,B,发生的概率，叫做,条件概率,。记作,P(B|A).,条件概率计算公式,:,注意条件：必须,P(A)0,复习回顾,问题提出,思考,1.,甲盒子里有,3,个白球和,2,个黑球，乙盒子里有,2,个白球和,2,个黑球，记,A,“,从甲盒子里摸出,1,个球，得到白,球”,;,B,：,“,从乙盒子里摸出,1,个球，得到白球,”,试问事件,A,是否发生会影响事件,B,发生的概率大小吗,?(,即 吗,?),思考,2.,盒中有,5,个球,(3,白,2,黑,),每次取出一个,有放回地,取两次,记,A:,“,第一次抽取取到白球,”,B:,“,第二次抽取取到白球,”,.,试问事件,A,是否发生会影响事件发生,B,的概率大小吗,?(,即 吗,?),如果是,不放回,呢,?,问题提出,思考,3.,三张奖券中只有一张能中奖，现分别有三名同学有放回地抽取，事件,A,为,“,第一名同学没有抽到中奖奖券,”,，事件,B,为,“,最后一名同学抽到中奖奖券,”,，事件,A,的发生会影响事件,B,发生的概率吗？,显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件,A,的发生不会影响事件,B,发生的概率。于是,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),相互独立事件的定义,设,A,B,两个事件,若,则称事件,A,与事件,B,相互独立,.(,mutually independent,),如果事件,A,的发生不会影响事件,B,发生的概率，或者事件,B,的发生不会影响事件,A,发生的概率，则事件,A,与事件,B,相互独立,.,直观解释：,一般地，如果事件,A,1,A,2,An,相互独立，那么这,n,个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即,P,（,A,1,A,2,A,n,）,=P,（,A,1,）,P,（,A,2,）,P,（,A,n,）,练习,:,判断下列事件是否为相互独立事件,.,篮球比赛的,“,罚球两次,”,中，,事件,A,：,第一次罚球，球进了,.,事件,B,：,第二次罚球，球进了,.,袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球,.,事件,A,：,第一次从中任取一个球是白球,.,事件,B,：,第二次从中任取一个球是白球,.,袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球,.,事件,A,：第一次从中任取一个球是白球,.,事件,B,：第二次从中任取一个球是白球,.,条件概率的定义与相互独立的定义的比较,:,在事件,A,与,B,相互独立的定义中，,A,与,B,的地位是对称的；,在条件概率,P(BA),的定义中，事件,A,和,B,的地位是不对称的，这里要求,P(A)0.,思考：,能否用,P(BA)=P(B),作为事件,A,与,B,相互独立的定义？,这个等式的适用范围是,P(A)0,，否则,P(BA),没有意义,.,相互独立的定义适用任意两个事件,A,B,，只要它们满足,P(AB)=P(A)P(B).,事实上，若,P(A)=0,由定义可知：,A,与任何一个事件都是相互独立的,.,因为此时对任意事件,B,，,P(AB)=0,，,所以,P(AB)=P(A)P(B),总是成立的,.,即概率等于,0,的事件与任何一个事件都是独立的,.,思考,1,：,不可能事件与任何事件,A,相互独立吗？,因为不可能事件的概率为,0,，所以不可能事件与任何一个事件,A,独立,.,思考,2,：,必然事件,与任何事件,A,相互独立吗？,对于必然事件,与任意事件,A,因此 总是成立的，,即必然事件与任何一个事件也是相互独立的,.,必然事件,及不可能事件与任何事件,A,相互独立,.,两个事件相互独立与两个事件互斥的比较：,两个事件互斥：,此时有,但反过来不成立，即由,不能推出,即不能推出两个事件互斥,.,两个事件相互独立：,P(AB)=P(A)P(B).,两个事件互斥有加法公式，即两个事件并的概率的和,.,两个事件相互独立，表示两个事件交的概率等于两个事件概率的积,.,思考,:,若事件,A,与,B,相互独立,则以下三对事件也相互独立吗？,例,3,某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是,0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：,(1),都抽到某一指定号码；,(2),恰有一次抽到某一指定号码；,(3),至少有一次抽到某一指定号码。,例题分析,例,3,某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是,0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：,例题分析,解：记,“,第一次抽奖抽到某一指定号码,”,为事件,A,，,“,第二次抽奖抽到某一指定号码,”,为事件,B,，则,“,两次抽奖都抽到某一指定号码,”,就是事件,AB.,且,P(A)=P(B)=0.05,（,1,）都抽到某一指定号码；,(1),由于两次抽奖结果互不影响，因此,A,与,B,相互独立,.,于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率为,P(AB)=P(A)P(B)=0.05,0.05=0.0025,例,3,某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是,0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：,例题分析,解：记,“,第一次抽奖抽到某一指定号码,”,为事件,A,，,“,第二次抽奖抽到某一指定号码,”,为事件,B,，则,“,两次抽奖都抽到某一指定号码,”,就是事件,AB.,且,P(A)=P(B)=0.05,(2),恰有一次抽到某一指定号码；,例,3,某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是,0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：,例题分析,解：记,“,第一次抽奖抽到某一指定号码,”,为事件,A,，,“,第二次抽奖抽到某一指定号码,”,为事件,B,，则,“,两次抽奖都抽到某一指定号码,”,就是事件,AB.,且,P(A)=P(B)=0.05,(3),至少有一次抽到某一指定号码,.,两次开奖至少中一次奖的概率是一次开奖中奖概率的两倍吗？为什么？,补例,1.,甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为,0.6,乙击中敌机的概率为,0.5,求敌机被击中的概率,.,解：,设,A,=,甲击中敌机,B,=,乙击中敌机,C,=,敌机被击中,依,题设,由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以,A,与,B,独立,进而,=0.8,例题分析,补例,2.,在一段线路中并联着,3,个自动控制的常开开关，只要其中有,1,个开关能够闭合，线路就能正常工作,.,假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是,0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率,.,例题分析,由题意，这段时间内,3,个开关是否能够闭合相互之间没有影响。,所以这段事件内线路正常工作的概率是,答：在这段时间内线路正常工作的概率是,0.973.,根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内,3,个开关都不能闭合的概率是,解：分别记这段时间内开关 能够闭合为事件,A,B,C.,课堂练习,课本第,55,页练习第,1,、,2,、,3,、,4,题,1,、分别抛掷,2,枚质地均匀的硬币，设,A,是事件,“,第,1,枚为正面,”,，,B,是事件,“,第,2,枚为正面,”,，,C,是事件,“,2,枚结果相同,”,.,问：,A,，,B,，,C,中哪两个相互独立？,解：利用古典概型计算概率的公式，可以求得,P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(BC)=0.25,P(AC)=0.25.,可以验证,P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),课堂练习,2.,一个口袋内装有,2,个白球和,2,个黑球，,（,1,）先摸出,1,个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？,（,2,）先摸出,1,个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？,解,（,1,）先摸出一个白球的条件下，口袋中剩下,3,个球，其中仅有,1,个白球，所以在,先摸出,1,个白球不放回的条件下，再摸出,1,个白球的概率是,1,3.,（,2,）先摸出一个白球,后放回,的条件下，口袋中仍然有,4,个球，其中有,2,个白球，所以在,先摸出,1,个白球后放回的条件下，再摸出,1,个白球的概率是,1,2.,3,、天气预报，在元旦假期，甲地下雨的概率是,0.2,，乙地下雨,的概率是,0.3,，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：,（,1,）甲、乙两地都下雨的概率；,（,2,）甲、乙两地都不下雨的概率；,（,3,）其中至少有一方下雨的概率,.,P=0.20.30.06,P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56,P=1-0.56=0.44,课堂练习,互斥事件,相互独立事件,定义,概率公式,(1),列表比较,不可能同时发生的两个事件,事件,A,是否发生对事件,B,发生的概率没有影响,P,(,A,+,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),(2),解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件,.,课堂小结,解题步骤：,1.,用恰当的字母标记事件,如,“,XX,”,记为,A,“,YY,”,记为,B.,2.,理清题意,判断各事件之间的关系,(,等可能,;,互斥,;,互独,;,对立,).,关键词 如,“,至多,”,“,至少,”,“,同时,”,“,恰有,”,.,求,“,至多,”,“,至少,”,事件概率时,通常考虑它们的对立事件的概率,.,3.,寻找所求事件与已知事件之间的关系,.,“,所求事件,”,分几类,(,考虑加法公式,转化为互斥事件,),还是分几步组成,(,考虑乘法公式,转化为相互独立事件,),4.,根据公式解答,课堂小结,课后作业,课本第,59,页习题,2.2B,组第,2,题,附,1,：用数学符号语言表示下列关系：,若,A,、,B,、,C,为相互独立事件，则,A,、,B,、,C,同时发生；,A,、,B,、,C,都不发生；,A,、,B,、,C,中恰有一个发生；,A,、,B,、,C,中至少有一个发生的概率,；,A,、,B,、,C,中至多有一个发生,.,注,:,(1),若事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,中任意两个事件相互独立，,则称事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,两两相互独立,.,(2),设,A,1,，,A,2,，,，,A,n,为,n,个事件,，,若对于任意,k,(1,k,n,),及,1,i,1,i,2,i,k,n,则称事件,A,1,，,A,2,，,，,A,n,相互独立,.,ABC,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,1,P,(),A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C+,则,“,至少有一个发生,”,的概率为,P,(,A,1,A,n,),=,1-(1-,p,1,)(1-,p,n,),附,2.,若设,n,个独立事件,发生的概率,分别为,类似可以得出：,至少有一个不发生