高数-幂级数的展开

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,预备知识：,1.,泰勒公式：,若函数,在,某邻域内有直到,阶的导数，,则,拉格朗日余项,2.,级数收敛的必要条件,3.,幂级数及其和函数的性质,1,一、泰勒级数,泰勒公式：,若函数,在,某邻域内有直到,阶的导数，则,拉格朗日余项,(1),其误差为:,(2),问题：,给定函数,是否能找到一个幂级数，它在某个区间,内收敛，且其和恰好是给定的函数,若能找到这样的幂级数，则说,函数,f,(,x,),在该区间内能展开成,幂级数,.,2,若,在,某邻域内有,任意阶导数,，,称,(3),为,的,泰勒级数,。,问题:,（2）,若级数(3)收敛,是否收敛于,时,级数(3)是否收敛?,（1）,定理:,成泰勒级数(3)的,充分必要条件,是,则,在该邻域内能展,在,某邻域内有任意阶导数，,设,当,时，,级数(3)收敛于,显然:,?,3,证,必要性,设,在该邻域内能展成泰勒级数(3),记,由(1)式知,所以,充分性,设,所以,证毕.,即,4,内,若,在,的某邻域,能展成,的幂级数,则,得证,即,在(3)中,特别地,(4),称为函数,的,麦克劳林级数,。,若,能展成,的幂级数，,则,展开式唯一,就是它的麦克,劳林级数。,5,二、函数展开成幂级数,1.,直接展开法,，,(1).,求出,的各阶导数:,(2).,求函数及各阶导数在,处的函数值:,(3).,写出幂级数:,并求出收敛半径,R,.,按以下步骤进行,：（,展成关于,x,的幂级数）,若,则,(4).,考察当,时,在,0,与,x,之间）,是否为零?,否则,幂级数不收敛于,6,例1.将函数,展开成,的幂级数.,解,考察级数,级数,收敛,所以,的麦克劳林级数为:,7,例2.将函数,展成,的幂级数.,解,的麦克劳林级数为:,8,2.,间接展开法,常用的已知函数展开式有:,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则,逐项求导、逐项求积,）,将所给函数展成幂级数。,（,四则法则,9,例3.将函数,展开成,的幂级数.,解,由,知,例4.将函数,展开成,的幂级数。,解,由,两边求导得,10,若,内的已得到展式：,（,1,）,级数,处仍收敛；,（,2,）,处有定义且连续,则展式,处也成立.,说明,例5.将函数,展开成,的幂级数。,解,即,由,知,11,当,时,收敛,当,时,收敛,所以,注意,：经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况.,例6.将函数,展开成,的幂级数。,解,两边积分得,因,所以,在,处有定义且连续，,12,例7.将函数,展开成,的幂级数。,解,两边积分得,当,时,当,时,发散,收敛.,在,处有定义且连续，,13,例8 将函数,展开成,x,的幂级数.,解,因为,14,于是得级数,下面证明,因此,对于,任意常数,m,这级数在开区间(-1,1)内收敛,函数为,设其和,令,?,15,?,?,要证,只须证,16,即,上面的展开公式叫做,二项展开式,。,当,m,为正整数时,二项式定理.,特别地:,在区间的端点,展开式是否成立要看,m,的数值而定.,当,时，,当,时，,当,时，,注:,17,当,时,当,时,18,例9.将函数,展开成,的幂级数.,解,由,得,例10 将函数,展开成,的幂级数.,解,19,例11.将函数,展开成,的幂级数。,解,由,得,20,例12.将函数,展开成,的幂级数.,解,由,且,得,21,小结：,求出收敛半径,R,.,考察当,时,是否为零?,22,当,时，,当,时，,当,时，,23,