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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,/30,目录 上页 下页 返回 结束,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,傅氏级数,第四章,1,常数项级数的概念和性质,1.1,常数项级数的概念、性质与收敛原理,1.2,正项级数的审敛准则,1.3,变号级数的审敛准则,第一节,第四章,2,1.1,常数项级数的概念、性质与收敛原理,引例,1.,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积,A,.,设,a,0,表示,即,内接正三角形面积,a,k,表示边数,增加时增加的面积,则,圆内接正,3,引例,2.,(,神秘的康托尔尘集,),把,0,1,区间三等分,舍弃中,间的开区间,将,剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃,在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部,分,的总长和剩下部分的总长各是多少？,丢弃的各开区间长依次为,故,丢弃部分总长,剩余部分总长,剩余部分总长虽然为,0,但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在,0,1,区间上,人们称其为,康托尔尘集,.,0,1,(,此式计算用到后面的例,1),4,引例,3.,小球从,1 m,高处自由落下,每次跳起的高度减,问小球是否会在某时刻停止运动,?,说明道理,.,由自由落体运动方程,知,则小球运动的时间为,(s),设,t,k,表示第,k,次小球落地的时间,(,此式计算用到,后面的例,1),少一半,5,定义,1.1,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,常数项无穷级数,（,常数项级数,或,级数,）,其中第,n,项,叫做级数的,通项（一般项）,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和,.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称,S,为级数的,和,记作,6,当级数收敛时,级数的和与部分和的差,称为级数的,余项,.,则称无穷级数,发散,.,显然,7,例,1.,讨论,等比级数,(,又称,几何级数,),(,q,称为,公比,),的敛散性,.,解,:,1),若,从而,因此,级数收敛,从而,则部分和,因此,级数发散,.,其和为,8,2).,若,因此级数发散,;,因此,n,为奇数,n,为偶数,从而,综合,1),、,2),可知,时,等比级数收敛,;,时,等比级数发散,.,则,级数成为,不存在,因此级数发散,.,9,例,2.,判别下列级数的敛散性,:,解,:,(1),所以级数,(1),发散,;,技巧,:,利用“,拆项相消,”求和,10,(2),所以级数,(2),收敛,其和为,1.,技巧,:,利用“,拆项相消,”求和,注,：,级数收敛,当且仅当它的,部分和数列收敛,这样就将级数的收敛性问题转化为了数列的收敛性问题,11,例,调和级数,是发散的,.,在第一章中已经证明过，它的部分和数列,事实上,假设调和级数收敛于,S,则,但,矛盾,!,所以假设不真,.,12,例,3.,判别级数,的敛散性,.,解,:,故原级数收敛,其和为,13,无穷级数的基本性质,性质,1.1(1),设有两个收敛级数,则级数,收敛,其和为,证,:,令,则,这说明级数,也收敛,其和为,14,性质,1.1(2),若级数,收敛于,S,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,证,:,令,则,这说明,收敛,其和为,c S.,说明,:,级数各项乘以,非零常数,后其敛散性不变,.,即,其和为,c S.,15,性质,1.1(3),若,则,说明,:,(2),若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散,.,但若二级数都发散,不一定发散,.,例如,(1),性质,1.1(1),表明收敛级数可逐项相加或相减,.,(,用反证法可证,),16,性质,1.2,任意删去、增加或改变,有限项,不改变级数,的敛散性,.,证,:,将级数,的前,k,项去掉,的部分和为,数敛散性相同,.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况,.,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,17,性质,1.3,设级数,则,证,:,可见,:,若级数的一般项不趋于,0,则级数必发散,.,例如,其一般项为,不趋于,0,因此这个级数发散,.,18,注意,:,并非级数收敛的充分条件,.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散,.,19,性质,1.4,对,收敛的级数,，不改变各项次序，,任意加括号,后所得到的级数,仍收敛且级数的和不变,.,证,:,设收敛级数,中任意加入括号,便得一新级数：,因此,为原级数部分和数列,从而，新级数收敛，而且有,部分和数列为,在该级数,记它的部分和序列为,则,的一个子列,20,推论,:,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,.,注意,:,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,但,发散,.,例如,，,用反证法可证,21,例,4.,判断级数的敛散性,:,解,:,考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散,.,22,例,5.,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和,:,解,:(1),令,则,故,从而,这说明级数,(1),发散,.,23,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),24,这说明原级数收敛,其和为,3.,(3),25,级数研究的两个基本问题：,一，任给一个级数，判断它的敛散性,二，如果级数收敛，怎么样求出级数的和,求级数的和,有时候比较难，,但可以用部分和来近似,.,第二个问题比较难,但第一个问题更重要,.,将判断数列收敛的,Cauchy(,柯西,),原理,转化到级数中,就可以得到如下的判别级数敛散性的基本原理,.,26,的,充要条件是,:,定理,1.1 (Cauchy,审敛原理,),有,证,:,设所给,级数部分和数列为,因为,所以利用数列,的,柯西审敛原理,(,第一章,),即得本定理的结论,.,27,例,6.,解,:,(1),有,利用,柯西审敛原理,证明,:,(1),级数,(2),调和级数,28,当,n,N,时,都有,由,柯西审敛原理,可知,级数,(2),要用柯西审敛原理证明级数,只要证明：,由于,所以，该级数发散,29,作业,P253 1,(1),(3),；,2,(2),(3),(4),；,3,(2),；,4,(1),(3),(5);,*,5,(3),(4),30,
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