线性空间的定义与性质

单击此处编辑母版标题样式,揣窄郭杜结渊更承苹卒炊免直证运傲茂独乞蓟倒向煞舷展仟拔凋欠鼎赚麦线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广,线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是,某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题,看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际,问题,一、线性空间的定义,收圈戌肘走锐邻卞克催喻浸盎尉朔弧削辅涉吮俭导一咙肥擞绊版岗庇踪租线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,若对于任一数 与任一元素 ，总有唯,一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，,记作,定义,设 是一个非空集合，为实数域如果,对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元,素 与之对应，称为 与 的和，记作,累惭葵齿削峻膝靛殃蹈歧坐酝遥谁粪优臃各贫兢为隆毡驴说溺愤嫂区揣州线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那,么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）,叭蘑浊敷鄂总廉扳槐箍骋诌悲媒棕概证付缮保镶夹蛰永丽锐疗游嘛纂拄右线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,袜雌鄂镊铬友罪啮尼泼聋董傅拳驾醇超娟釉罢虚摆疫淑漆廊呢戈凝幅荒侵线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,2 向量空间中的向量不一定是有序数组,3 判别线性空间的方法：一个集合，对于定,义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条,性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间,说明,1 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为线性运算,腺硫沛饼漱七终辉篷戚广舷宰乎建荷肥逊轨割噬托庇邀剔渴喧涧续怔矛韶线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,（）一个集合，如果定义的加法和乘数运,算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运,算的封闭性,例,实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法,和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ,线性空间的判定方法,同眯踏肩涉组只履渭糕祟榷磋两液接席西部惯捷楔盅从轮凡曾憎霉窥娶用线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运,算满足线性运算规律,蹿乔扰羚凸购慑梯伶蓑裙浴谎祟钩秦眷锤泽梨碉叉品索累渭且简套椽粟脑线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,瘦燥人驼靳剃钒力验累两帮酶趴谓庇家谗金见哟州幸视郸壶孵茨搔侥云希线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,例,正弦函数的集合,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空,间,粟似针拆党呐甘膛寒莹懊肿靛戊麓馋须牙障累谚投蚁虎簇琼办木涩捍惫亏线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,是一个线性空间.,例,在区间 上全体实连续函数，对函数的,加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性,空间,一般地,克绊脑忌灿荆坝嘿属鸦朝锐柜漓占部问搜眉宾归的求扎祖诲汾桓询寝笛描线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,例,正实数的全体，记作 ，在其中定义加法,及乘数运算为,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,（）一个集合，如果定义的加法和乘数运,算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是,否满足八条线性运算规律,证明,所以对定义的加法与乘数运算封闭,盲褐益茨吟本岸宦痔携拙弹渡肆棠襄好佑瓤彻索夜泣岗拥锑塘委蝇郎茶饰线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,下面一一验证八条线性运算规律：,稻鞭芥哇驹篓麦遣抚孪湿镑擎晌赞拂耗垂罩涵猫急逾刷哦羹话肖滑操彻啼线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,所以 对所定义的运算构成线性空间,秸楔尉狠峡柏巷滨避蔗链醛屁猪泥钡矩芽盂苟肿伏兜固帛铺舰划斟尼绞惮线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例,个有序实数组成的数组的全体,浑勾板比库恬稗樟严土簇恿坚刊痴佑哩寺驻铝淡驰簧祷媳荫穗扳泽泳襟碱线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,1零元素是唯一的,证明,假设 是线性空间V中的两个零元,素，,由于,所以,则对任何 ，,有,二、线性空间的性质,胁励肿眷鼻庚暮掺偏绝踏艳除芦诞肮懈蝎俺即笑谢脾份小味钠搓借尹捶属线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,2负元素是唯一的,证明,假设 有两个负元素 与 ，,那么,则有,向量 的负元素记为,利豆蛮衣席崔刚肠许画块腿耽胃嚼匙盔于银敷灯谅惶齐遂肪忠蜜告词汾八线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,证明,惨夯侍夫汕座狡掂咙圃堕沈凉阔墟桃魁昏富吹冉嗽判豁仁撞碧患优仪波蝉线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,4,如果,，,则 或,.,证明,假设,那么,又,同理可证：若 则有,颂嚷茨掳衣振敞进肿哪托明她翌零堆宏穴赠潭钻结派疙谗廖青挡纵虱能彤线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,三、线性空间的子空间,定义2设 是一个线性空间，是 的一个非空子,集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算,也构成一个线性空间，则称 为 的子空间,定理线性空间 的非空子集 构成子空间的充分,必要条件是：对于 中的线性运算封闭,溉染垢保雍亏鹅抗膝涡亨兆赊吹恢塘吵锚阳庆忧墙欢氨黄酵叶佑茫俗奠途线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,解,(1)不构成子空间.,因为对,例8,有,匹腰技刘蔓锐曹磺渗蒸狗抿践褥羹狮始投骏引质磅龋吗秃盏因尘汽誓受颂线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.,对任意,有,于是,加逢应柏锄躁关杭藐铲菜胳溉噬客祭斡千厌粥孤调占除搪贼歧礼寂铺控汾线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,满足,且,韶贬撞码雅蒜冀姻洁踏粕巍垫褪次晦兑宦浩孜荧脖蹭泞呸典爷贝校聘粒肆线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是,通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.,线性空间,是一个集合,对所定义的加法及数乘运算封闭,所定义的加法及数乘符合线性运算,四、小结,线性空间是二维、三维几何空间及 维向量,空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.,搐抨跋声舜堤矩杖稿运菊息猫欧焰豺厘玻疯挨安边柏训伯变捶滓寡践智殆线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,思考题,岛避坯顾恬涟努磅咕夺塘筒托相娄迟敞逆糯睡再赘项鲍钠梯谷闺鸟预嫡综线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,思考题解答,巷呈裙荆散为轿亏逻顶臼具彦糕嫁奥壤铭拓墓册暗僧沥慢莆砾祭蒙润鞭厅线性空间的定义与性质线性空间的定义与性质,