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,*,第三章 数值积分与数值微分,3.2 复化求积公式,复化simpson求积公式,3.2.1 复化梯形求积公式,对于定积分 其精确值.I=2.302585。用梯形公式（3.1.6）计算有 用Simpson公式（3.1.7）计算 可以看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。,因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为,复化求积方法,。本节讨论复化梯形公式和复化Simpson公式。,高次插值有,Runge 现象,，故采用分段低次插值,分段低次合成的,Newton-Cotes,复合,求积公式。,一、复化梯形公式:,在每个 上用梯形公式：,=,T,n,3.2 复化求积公式,称,T,n,为,复化梯形公式,设 由梯形公式的误差有,因为,所以存在 使得,（3.2.2）,于是,复化梯形公式的余项为,事实上，由定积分的定义可知，对a，b的任意分划 所作黎曼和的极限,存在。该积分对于等距分划和特殊的 当然成立，于是对复化梯形公式有,定义3.2,如果一种公式 有 则称求积公式 是P阶收敛的。,显然，复化梯形公式是2 阶收敛的。,可以看出，误差（）是 阶的。而且，当 时， ，即复化梯形公式收敛到 值得,指出的是，收敛的结论，只要f（x）在a，b上可积即可成立。,用复化梯形求积公式时，如果 不够精确，那么我们可以将每个子区间 对分，得到2n个子区间，再用复化梯形公式计算。此时，计算 的分点也是计算 的分点。,（3.2.3）,因此，我们可以将复化梯形公式递推化，即有,其中 。这样，计算 时，只须把新分点上的函数值算,出加到 中即可。,3.2.2 复化simpson求积公式,将积分区间,a,b,为,n,等份，,h=(b-a)/h,在每个子区间 上用 Simpson公式可得,4,4,4,4,4,=,S,n,（）,称,S,n,为,复化Simpson公式,。,设 ，由Simpson公式的误差有,（3.2.5）,类似于复化梯形公式的推导，复化Simpson公式的余项为,由此可见，复化Simpson公式是4阶收敛的 。,例 3.3,分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算 时，要使用误差不超过 ，问各取多少个节点？,解：由（3.2.2），令,由此解得,由（3.2.5），令,由此解得 。因此，复化梯形公式取361个节点，复化Simpson公式取19（即92+1）个节点。可见，复化Simpson公式明显由于复化梯形公式。,例 3.4,计算,解：,其中,=,3.1,38988494,其中,=,3.141592,502,运算量基本相同,3.3用样条函数方法和外推法求下列函数的一阶和二阶导数，并结合函数的图形说明精度与步长h的关系。,3.4设计自适应的Simpson方法求积分的近似值，即对不同的子区间分别按精度标准确定各自适当的步长，计算各子区间上的积分近似值，然后将各个近似值相加，要求近似值的绝对误差限为。,
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