数字信号处理离散傅里叶变换ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,7,讲 离散傅里叶变换,(DFT),第,3,章 离散傅里叶变换,(,DFT,),1,本章作为全书的基础，主要学习,:,(1),DFT,的定义；,(2),DFT,的物理意义；,(3),DFT,的基本性质以及频域采样；,(4),DFT,的应用举例等内容。,2,离散傅里叶变换定义,计算机只能处理,有限长离散序列,，因而无法直接利用,ZT,与,FT,进行数值计算。,针对有限长序列,还有一种更有用的数学变换,即离散傅里叶变换（,D,iscrete,F,ourier,T,ransform,），,使数字信号处理可以在频域采用数字运算的方法进行，大大增加了数字信号处理的灵活性。,3,DFT,的实质：有限长序列傅里叶变换的,有限点离散采样，,即,频域离散化。,DFT,有多种快速算法,(,F,ast,F,ourier,T,ransform,),因此不仅在理论上有重要意义,在各种数字信号处理算法中亦起着核心作用。从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。,4,DFT,的定义,设,x(n),是一个长度为,M,的有限长序列，则定义,x(n),的,N,点,离散傅里叶变换,为：,X(k),的,离散傅里叶逆变换,为：,5,对式中，,N,称为,DFT,变换区间长度，,NM,。通常称上述二式为离散傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用,DFT,x(n,),N,和,IDFT,X(k,),N,分别表示,N,点离散傅里叶变换和,N,点离散傅里叶逆变换。,6,【,例,】,x(n,)=R,4,(n),求,x(n,),的,8,点和,16,点,DFT,。,【,解,】,（,1,）设变换区间,N=8,时，则：,7,（,2,）设变换区间,N=16,时，则：,8,R,4,(n),的,FT,和,DFT,的幅度特性关系如下图所示,:,X(n,),的幅频特性曲线,(FT,曲线,),X(n,),的,8,点,DFT,曲线,X(n,),的,16,点,DFT,曲线,9,结论,:,由此例可见，,x(n,),的离散傅里叶变换结果与变换区间长度,N,的取值有关。在后面，对,DFT,与,Z,变换和傅里叶变换的关系及,DFT,的物理意义进行讨论后，上述问题就会得到解释。,10,DFT,与傅里叶变换和,Z,变换的关系,设序列,x,(,n,),的长度为,M,，其,Z,变换和,N,(,N,M,),点,DFT,分别为：,11,上二式表明序列,x,(,n,),的,N,点,DFT,是,x,(,n,),的,Z,变换在单位圆上的,N,点等间隔采样。,X,(,k,),为,x,(,n,),的傅里叶变换。,比较上面二式可得关系式,或,12,DFT,是,X,(e,j,),在区间,0,2,上的,N,点等间隔采样。这就是,DFT,的物理意义,。,DFT,的变换区间长度,N,不同，表示对,X,(e,j,),在区间,0,2,上的采样间隔和采样点数不同，所以,DFT,的变换结果不同。,DFT,的物理意义,13,DFT,的隐含周期性,在,DFT,变换对中，,x,(,n,),与,X,(,k,),均为有限长序列，但由于,的周期性，使,DFT,和,IDFT,式中的,X,(,k,),隐含周期性，且周期均为,N,。对任意整数,m,，总有,在,DFT,式中，,X,（,k,),满足：,14,实际上，任何周期为,N,的周期序列都可以看做长度为,N,的有限长序列,x,(,n,),的周期延拓序列，而,x,(,n,),则是的一个周期，即,15,一般称周期序列中从,n,=0,到,N,1,的第一个周期为的主值区间，而主值区间上的序列称为的主值序列。因此,x,(,n,),与的上述关系可叙述为：是,x,(,n,),的周期延拓序列，,x,(,n,),是的主值序列。,16,为了以后叙述简洁，当,N,大于等于序列,x,(,n,),的长度时，将式,用如右形式表示：,式中,x,(,n,),N,表示,x,(,n,),以,N,为周期的周期延拓序列，,(,n,),N,表示模,N,对,n,求余，即如果,n,=,MN,+,n,1,0,n,1,N,1,M,为整数,则,(,n,),N,=,n,1,17,例如，,则有,所得结果符合下图所示的周期延拓规律。,18,如果,x,(,n,),的长度为,N,，且，则可写出的离散傅里叶级数表示式,式中,即,X(k,),为的主值序列,。,19,因此可知，有限长序列,x,(,n,),的,N,点离散傅里叶变换,X,(,k,),正好是,x,(,n,),的周期延拓序列,x,(,n,),N,的离散傅里叶级数系数的主值序列，即 。后面要讨论的频域采样理论将会加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数确定，因此，,X,(,k,),实质上是,x,(,n,),的周期延拓序列,x,(,n,),N,的频谱特性，这就是,N,点,DFT,的物理意义。,20,离散傅里叶变换的基本性质,1,线性性质,如果,x,1,(n),和,x,2,(n),是两个有限长序列，长度分别为,N,1,和,N,2,且,y(n)=ax,1,(n)+bx,2,(n),式中,a,、,b,为常数，即,N=max,N,1,N,2,，则,y(n),的,N,点,DFT,为,Y(k,)=,DFTy(n,)=aX,1,(k)+bX,2,(k),0kN-1,其中,X,1,(k),和,X,2,(k),分别为,x,1,(n),和,x,2,(n),的,N,点,DFT,。,21,2,循环移位性质：,(1),序列的循环移位,设,x(n),为有限长序列，长度为,N,，则,x(n),的循环移位定义为,y(n)=,x(n+m),N,R,N,(N,),循环移位过程如下图所示,:,22,循环移位过程示意图,23,(2),时域循环移位定理：,设,x(n),是长度为,N,的有限长序列，,y(n),为,x(n),的循环移位，即,y(n)=x(n+m),N,R,N,(n),则,Y(k)=DFT,y(n),其中,X(k,)=DFT,x(n),0kN-1,。,24,（,3,）频域循环移位定理，如果,X(k)=,DFTx(n,),0kN-1,Y(k)=X(k+l),N,R,N,(k),则,y(n)=,IDFTY(k,),25,3,循环卷积定理,有限长序列,x,1,(n),和,x,2,(n),，,长度分别为,N,1,和,N,2,，,N=maxN,1,N,2,。,x,1,(n),和,x,2,(n),的,N,点,DFT,分别为：,X,1,(k)=DFT,x,1,(n),X,2,(k)=DFT,x,2,(n),如果,X(k)=X,1,(k)X,2,(k),则,或,上式所表示的运算称为,x,1,(n),与,x,2,(n),的循环卷积。,26,循环卷积过程中，要求对,x,2,(,m,),循环反转，循环移位，特别是两个,N,长的序列的循环卷积长度仍为,N,。,显然与一般的线性卷积不同，故称之为循环卷积，记为,27,由于,所以,即循环卷积亦满足交换律。,28,频域循环卷积定理：,如果,x(n,)=x,1,(n)x,2,(n),则,29,直接计算循环卷积较麻烦。计算机中采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（,FFT,）的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵计算循环卷积的公式。,30,当,n,=0,1,2,L,1,时，由,x,(,n,),形成的序列为：,x,(0),x,(1),x,(,L,1),。,循环移位后可得下面的矩阵：,31,上面矩阵称为,x,(,n,),的,L,点“,循环卷积矩阵,”，其特点是,:,（,1,）第,1,行是序列,x,(0),x,(1),x,(,L,1),的循环倒相序列。注意，如果,x,(,n,),的长度,M,L,，则需要在,x,(,n,),末尾补,L,M,个零后，再形成第一行的循环倒相序列。,（,2,）第,1,行以后的各行均是前一行向右循环移,1,位形成的。,（,3,）矩阵的各主对角线上的序列值均相等。,有了上面介绍的循环卷积矩阵，就可以写出,y(n),c,的矩阵形式如下,:,32,33,按照上式，可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积，这里关键是先形成循环卷积矩阵。上式中如果,h,(,n,),的长度,N,L,，则需要在,h,(,n,),末尾补,L,N,个零。,【,例,】,计算下面给出的两个长度为,4,的序列,h,(,n,),与,x,(,n,),的,4,点和,8,点循环卷积。,34,【,解,】,按照上式写出,h,(,n,),与,x,(,n,),的,4,点循环卷积矩阵形式为,h,(,n,),与,x,(,n,),的,8,点循环卷积矩阵形式为,35,36,作业,第,3,章习题,1,、,2,、,3,37,THE,END,