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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,为流体中一流体质点，为 点邻域内另一任意流体质点，如果速度场已知，则同一瞬时上述 点对于 点的相对运动速度可计算如下：,1.6 速度分解定理,速度梯度张量,式中,写成分量形式,上式用矩阵表示为，,一个标量的梯度是一个矢量，而一个矢量的梯度则是一个二阶,张量。,是一个二阶张量，称为速度梯度张量。,或,速度梯度张量也可表示成,或,速度梯度张量分解为两个张量,只有6个独立分量，除对角线元素外，非对角线元素两两对应相等，可表示为 ，是一个对称张量。该张量描述流体微团的变形运动，称,应变率张量,。,只有3个独立分量，对角线元素为零，非对角线元素两两互为负数，可表示为 ，是一个反对称张量。该张量描述流体微团的旋转运动，称,旋转张量,。,旋转张量,反对称张量只有三个独立量，可看作一个矢量的三个分量，,这三个分量正好构成速度旋度的,以 间的位移 和旋转张量 相乘，,在刚体的定点转动中，如果角速度为 ，则距定点距离 处的旋转速度为,，比较知，,速度的旋度是流体微团绕其内部一瞬时轴的旋转角速度的2倍。,表示由于流体微团绕瞬时轴旋转而产生的 点相对于,M,点的速度变化。,速度分解定理,上式以矢量形式可写为，,表示由于流体微团变形而产生的 点相对于,M,点的速度变化。,取一由流体质点组成的线段元，,1.7应变率张量,正应变率分量,设某瞬时 与,x,轴重合，则,应变率张量对角线分量分别是,x,，,y,，,z,轴线上的线段元 的相对伸长率，称正应变率分量。,同理,剪切应变率分量,取流体质点组成的线元 、，设在某一瞬时 与,x,轴重合，而 与,y,轴重合，于是，,式中 是,x,轴与,y,轴之间的夹角，于是，,应变率张量非角线分量分别是平行于,x,与,y,轴，,z,与,x,轴，,y,与,z,轴的物质线段元之间夹角随时间变化率一半的负值，称剪切应变率分量。,同理得，,体积应变率,应变率张量对角线分量之和 是一个标量，,取一流体团，体积为 ，外表面为,S,，,体积 的变化率等于通过封闭曲面,S,的速度通量，,应变率张量三个对角线分量之和 或速度的散度表示流体微元的相对体积膨胀率。,1.8速度环量和涡量,速度环量,速度环量是流体绕封闭曲线旋转强度的度量，线积分沿逆时针方向进行。,涡量,涡量是流体微团绕其内部一瞬时轴作旋转运动的角速度的二倍，,涡量与流体微团自身的旋转角速度成正比，而与流体微团重心围绕某一参考中心作圆周运动的角速度无关。流动是否有旋与流体质点的运动轨迹无关。一个作圆周运动的流体微团可能涡量为零。,流场内处处 的流动称无旋流，或称势流。,的流动则称有旋流动。,Stokes,定理,涡通量：,Stokes,定理：,1.9涡旋的运动学特性,涡管和微元涡管,涡线，流场中的一条曲线，曲线上各点的涡量矢量方向和曲线在该点的切线方向相同。,涡管，在流场内作一非涡线且不自相交的封闭曲线，在某瞬时通过该曲线上各点的涡线组成一管状表面，称涡管。涡管横截面无限小时称涡管元。,涡旋场是无源场,矢量恒等式，,涡旋场内无源无汇。,涡管的运动学特性,推论：对一个确定的涡管，它的任一横截面上的涡通量是一个常数。该常数称为涡管强度。,由 ，对图示涡管，,推论：沿涡管每一横截面的包围曲线的速度环量相等。,由,Stokes,定理,由于涡旋场是无源场，可以推断，涡线和涡管都不能在流体内部中断。,如果发生中断，则在中断处取封闭曲面，通过封闭曲面的涡通量将不为零，与无源场事实相矛盾。,涡线和涡管只能在流体中自行封闭，形成涡环，或将其头尾搭在固壁或自由面，或延伸至无穷远。,涡线和涡管都不能在流体内部中断,下标 表示面元 的法线方向。,1.10应力张量,应力矢量,，正侧流体对负侧流体的作用应力；,，负侧流体对正侧流体的作用应力。,应力矢量的投影,应力的双下标表示法：,第 1 个下标表示应力所在平面的法线方向，,第 2 个下标表示应力投影方向。,一点的应力状态,在运动的粘性流体中，表面应力的方向和大小一般来说与其作用面的方位有关（表面应力方向与法向 并不一致），因此描述一点的应力状态似乎就需要无限多个矢量。,下面将证明过空间一点的三个相互垂直平面（可取三个坐标平面）上的应力矢量或它们的九个分量完全描写了一点的应力状态。,取四面体流体元，,应力矢量与应力张量,惯性力，,重力，,表面力，,应力矢量与应力张量,达朗贝尔原理：作用于四面体上的质量力（重力），表面力和惯性力及其力矩应该平衡。,当 ，重力、惯性力为三阶无穷小量，表面力为二阶无穷小量，因此仅需考虑表面力作用，忽略惯性力和重力影响。,应力矢量与应力张量,应力张量,或,称应力张量,应力张量的对角线元素为法向应力分量，非对角线元素为切向应力分量。,用四面体上的表面力的合力矩为零可以证明,应力张量是对称张量，只有6个独立分量，其非对角线分量两两对应相等，,应力张量 不再与 有关，而只是空间点位置和时间的函数，由九个分量（6个独立分量）组成的应力张量完全表达了给定时刻一点的应力状态。,1.11理想流体与静止流体的应力张量,一点的应力状态,在理想流体或静止流体中切应力为零,由于 是任选的，上式表明同一点各个不同方向上的法向应力是相等的。取,是强调压强与作用面的法线方向是相反的，由此可见在理想流体或静止流体中，只要用一个标量函数即压力函数 便完全地描述了一点上的应力状态。,比较上 2 式得，,应力张量,1.12本构方程,应力和应变率之间的关系，或者说应力张量和应变率张量之间的关系称本构方程。,三点假设之一,运动流体的应力张量在运动停止后应趋于静止流体的应力张量，流体压强此时即为静力学压强，据此应力张量可表示为，,应力张量,热力学压强,剪切应力张量或偏应力张量。由于流体运动而引起，当运动消失时趋于零，也趋于静力学压强。由于 ，均是对称张量，因此偏应力张量 也是对称张量。,三点假设之二,偏应力张量 的各分量是局部速度梯度张量 各分量的线性齐次函数。,这里假设应力张量是速度梯度张量的线性函数，而且只和速度梯度张量有关，满足上述关系的流体称牛顿流体，不满足此关系的流体则称非牛顿流体。,比例常数 应是一个,4,阶张量,。,三点假设之三,流体是各向同性的,，流体的物理性质，如粘性、导热率等均与方向无关，只是坐标位置的函数。从数学上讲，即要求是,各向同性张量,。,各向同性张量的每一分量经过坐标旋转变换后不改变其值。,四阶各向同性张量可表示为,由 ，考虑到 对,i 、j,两个指标是对称的，对指标,i 、j,也应该是对称的，于是 可进一步简化为，,对,k，l,也是对称的,本构方程,由于 对,k，l,对称，而旋转张量 对,k，l,反对称，因此,上式从数学上证明了偏应力与旋转无关，而只和变形有关。,上式中的 、需由实验确定，其物理意义也需要进一步解释。,富立叶定律,动力粘性系数,牛顿内摩擦定律,不可压缩流体的剪切流动,不可压缩流体,与牛顿内摩擦定律比较可看出，即动力粘性系数。,1.13 粘性系数,第二粘性系数 和体积粘性系数,一点的平均正应力,式中 ，称体积粘性系数。,根据气体分子运动理论,分子平动能量的度量,分子总能量的度量，其中包括平动、转动、振动能量及其他能量,平平动能量转换为其他形式能量的一个度量，例如穿过激波,能能量从平动能量转变为振动能量，此时 不为零。,Stokes,假设,对单原子气体只有分子平动能量 ，此时 ；,对多原子气体和液体，通常情况下 也可认为近似为零；,Stokes,假设，此时只有一个粘性系数 ，而 。,不可压缩流体,包含 的项自动消失，,
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