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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 线性系统的时域分析法,在经典控制理论中，分析系统的动态性能和稳态性常见方法有：,时域分析法、根轨迹法和频域分析法。,3-1,线性系统时间响应的性能指标,一、系统对典型信号输入的响应过程,动态过程,：,又称过渡过程或暂态过程，指在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。,稳态过程,：,在典型输入信号作用下，当时间趋于无穷时，系统输出量的表现方式。,二、动态性能指标与稳态性能指标,动态性能指标,：,在单位阶跃输入信号作用下，系统的动态响应过程随时间变化的指标。,常用动态性能指标,：,延迟时间,t,d,指响应曲线第一次达到系统终值一半所需时间。,上升时间,t,r,指响应从终值,10%,上升到终值,90%,所需时间。,峰值时间,tp,指响应超过终值到达第一个峰值所需时间。,调节时间,t,s,指响应到达并保持在终值,5%,（或,2%,）内所需时间。,超调量,%,指系统响应的峰值相对终值的偏移占系统终值大小的百分比。,有,振荡周期、振荡次数、衰减率,等。,稳态性能指标：,常用稳态误差表示。,3-2,一阶系统的时域分析,一阶系统即为惯性环节，有,一、一阶系统的单位阶跃响应,设输入信号为单位阶跃 ，,则,因此有 （,t0,）,响应特点：,1,、初始斜率为,1/,；,2,、系统无超调,无峰值,；,动态性能指标,：,t,d,=0.69,tr,=2.20,t,S,=3,二、单位脉冲响应,则,响应特点,：,为单调下降曲线，响应幅度为,1/,，,初始变化率为 ，,t,S,=3,。,三、一阶系统的单位斜坡响应,有,特点：,响应初始斜率为,0,，响应的位置误差由小变大，最后趋于,；响应的速度误差由大变小，最后趋于,0,，速度响应的指标与对应阶跃响应指示一致。,四、一阶系统的单位加速度响应,有,结论：,跟踪误差随时间推移而增大，直到无穷，不能实现对加速度的跟踪。,3-3,二阶系统的时域分析,一、二阶系统的数学模型,二阶系统可用如下框图表示，开环传函为惯性环节与积分环节的串联。,标准形式,系统的闭环传递函数为二阶系统，,并有：,令,系统的闭环极点：,闭环极点分布规律：,二、二阶系统的单位阶跃响应,系统闭环极点的性质与,有关,(1)01,（欠阻尼情况）,有,其中,则响应为 （,t0,00,，则 为衰减分量，令 ，称为衰减系数。,欠阻尼下单位阶跃响应曲线,（,2,）,=1,（临界阻尼情况,）,有,系统响应为稳态值为,1,的无超调单调上升曲线。,（,3,）,1,（过阻尼情况）,系统响应为稳态值为,1,的无超调单调上升曲线。,（,4,）,=0,（零阻尼情况）,h(t,)=1-cos,n,t,（,5,）,-10,有两共轭复根，实部大于,0,。,讨论：,由于,0,，则随时间的推移而无限增长，,因此系统输出为发散的正弦振荡，系统不稳定。,（,6,）当,=-1,时,有 系统发散，但无振荡。,（,7,）,-1,时,，系统响发散，但无振荡。,三、欠阻尼二阶系统的动态过程分析,特征根特性如图所示：,衰减系数,：,闭环极点到虚轴间的距离；,阻尼振荡频率,d,:,闭环极点到实轴间的距离；,自然角频率,n,：,闭环极点到坐标原点间的距离；,阻尼比,：,闭环极点与原点间连线相对负实轴的夹角的余弦即,=,cos,，称,为阻尼角；,(1),延迟时间,td,令,h(td,)=0.5,可得,n,t,d,与,间为隐函数关系，,利用曲线拟合法，可得如下,近似公式：,当,01,时，可简化为,(2),上升时间,tr,的计算,由于欠阻尼时，系统存在超调，且开始为单调上升，上升时间定义为输出从,0,到稳态值时间。,令,h(t,r,)=1,得 推得,结论：,当,（或,）一定时，系统的响应速度与,n,成正比（上升时间与,n,成反比）；当,n,一定时，,越小，上升时间越短。,(3),峰值时间,tp,的计算,将输出响应对,t,求导，并令其为,0,，则有,整理得：,由于 ，则,d,t,p,=0,，,，,2,，,3,等，,应取,d,t,p,=,，得：,结论：,峰值时间,t,p,等于阻尼振荡周期的一半，与闭环极的虚部数值成反比。,(4),超调量,%,的计算,由于 ，,则有：,考虑到,求得：,结论：,超调量,%,仅是阻尼比,的函数，与自然角频率,n,无关。,%,与,间的关系曲线如图所示，一般取,=0.4-0.8,时，,%,介于,1.5%-25.4%,之间。,(5),调节时间,ts,的计算,响应曲线在两指数曲线 之间,为对称于 的包络线，,如图所示为,=0.707,时的输出响应。,令,为实际响应与稳态输出的误差，,则有,显然上式的右边如果进入了误差带，则输出响应一定进入了误差带。,由 可得：,（当,=0.05,0.8,时）,（当,=0.02,0.8,时）,结论：,调节时间与闭环极点的实部数值成反比。,总结：,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、（当,=0.05,0.8,时）,（当,=0.02,T2,。输入为单位阶跃时，,有,阶跃响应：（,t0,）,采用曲线拟合法求取系统响应指标,（,1,）（,2,）,（,3,）,t,s,的求取采用图表方法，根据,t,s,/T,1,与,T,1/,T,2,间的关系曲线求得。,如图所示，图中,值可由下式求得：,五、二阶系统的单位斜坡响应,闭环系统输出的拉氏变换,（,1,）欠阻尼单位斜坡响应,（,t0,）,系统的稳态分量为,暂态分量为,系统的误差响应为,因此系统的稳态误差为,对,e(t,),求导并令其为零,可得误差响应的峰值时间为,(,与阶跃响应的上升时间相同,),误差响应的峰值为,令误差响应相对稳态误差的相对偏移为,d(t,),则有由上式可求得当,d(t,),进入误差带,(5%),时的调节时间为,（,2,）临界阻尼单位斜坡响应,稳态误差为,可求得,5%,误差带调节时间为,（,2,）过阻尼单位斜坡响应,稳态误差为,六、二阶系统性能的改善,（,1,）部分分式法的讨论,设闭环传递函数无重根，表示为,则单位阶跃响应的拉斯变换为：,得输出响应为：,其中：,（取模）,另外输出响应也可改为如下形式：,其中,（,2,）比例,微分控制,则开环传函为,令,z=1/T,d,则闭环传函为：,由此看出，闭环传函中增加了一闭环零点，系统阻尼比增大。求得单位阶跃响应为：,其中,由于,因此,令,则有,1,、峰值时间,t,P,对输出响应,h(t,),求导，并令其等于零，有,由于,0,，,),则有,当,z,趋于无穷大（即无零点）时，,=0,，则与无零点时公式一致。,2,、超调量,%,将,t,P,代入输出响应，得,从而有：,3,、上升时间,tr,由,h(tr,)=1,得,4,、调整时间,t,S,由等式 确定，,结论：,比例,微分控制可以增大二阶系统的阻尼，使阶跃响应超调量下降，调节时间缩短，且不影响系统稳态误差和系统自然角频率。,（,3,）测速反馈控制改善二阶系统特性方法,如图所示，引入速度负反馈。,可求得内环闭环传递函数（即系统的开环传递函数）,令 则 框图简化为,结论：,与不加速度反馈比较，系统的阻尼系数增加，开环增益降低,（由 降 为），系统的自然角频率不变。由于开环增益降低，,系统的稳态速度误差增大，在实际设计中，可预先适当增大原被控对象的开环增益，达到减小或消除此影响。,3-4,高阶系统的时域分析,设闭环传递函数无重根,单位阶跃响应的拉斯变换：,输出响应：,结论：,1,、闭环极点的负实部绝对值越大，则其对应的响应分量衰减越快；,2,、极点所对应的响应分量的系数由闭环零点和极点的分布决定；,3,、如果一对闭环零、极点相距很近时，则极点对应的响应分量的系数很小，一般可以忽略；,在工程实际中，常常忽略远离虚轴的极点、及附近有闭环零点存在的极点，从而把高阶系统简化为低阶系统，并以此估算高阶系统的性能指标。,闭环主导极点,：,如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其它闭环极点又远离虚轴（实部数值大,5,倍以上），则系统的响应主要由该极点决定，称为闭环主导极点。,系统的闭环主导极点常为共轭闭环主导极点。一般用闭环主导极点来估算系统的性能指标。,3-5,线性系统的稳定性分析,稳定性：,若线性系统在干扰影响下偏离平衡状态，当干扰消失后，系统的动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（,平衡状态,），则称系统是稳定的；如果系统的动态过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。,系统的稳定性由系统的固有特性决定，与外界因素无关。,线性系统稳定的充分必要条件：,闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；即闭环传递函数的极点均左半,s,平面。,一、胡尔维茨稳定性判据,（,1,）稳定性的初步判别,系统特征方程：（）,系统稳定的必要条件,：,特征方程的各项系数均为正且不缺项。,特征方程变为：,由于 因此，上式展开后的各项系数均大于零。,（,2,）胡尔维茨稳定性判据,线性系统稳定的,充分必要条件,是：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式及其顺序主子式（,i=1,2,3,n-1),全部为正。,-,规律,:,对角线由,a,1,a,2,a,n,组成。以对角线元素为标准，在各列上，从上到下系数序号递减，直到,a,0,;,从下到上系数序号递增，直到,a,n,;,其它空白项为零。,（,3,）劳斯稳定性判据,将系统特征方程写成标准形式：,（）,并将各系数组成如下排列的劳斯表：,表中的系数关系为：,直到其余的,b,值全部等于,0,为止。,规律：,表中的第一行由特征方程的,1,、,3,、,5,、项系数组成，第二行由特征方程的,2,、,4,、,6,、项系数组成；计算表中某行系数时，分母为上一行,第一列,的值，分子为,上两行第一列,和,上两行的待求系数后一列,构成的,2,阶行列式乘以,-1,；劳斯表中的空白项看成,0,值。计算中各行可同乘以任一正数，不影响判定结果。,线性系统稳定的充分必要条件,：,劳斯表中第一列各值严格为正,。,如果劳斯表第一列出现负数，则系统不稳定，且第一列各系数符号改变的次数，代表特征方程正实部根的数目。,例：,特征方程为,解：系统劳斯表为,第一列有两次变号，系统不稳定，并且系统有两个正实部根。,劳斯表稳定判据的特殊情况：,1,、劳斯表中某行的第一列为,0,，而其余各项不全为,0,。,当计算下一行时，将出现无穷大数，从而无法进行判定。,解决办法,：,方法,1,：,在原特征方程中乘以（,s+a,),因子，构成新的特征方程，其中,a,为大于,0,的正数，再对新的特征方程进行劳斯表判定。,例：,系统统特征方程：,则有,原方和乘（,s+1),，得,第,1,列中的各项数值的符,号改变了两次，因此系统,是不稳定的。,方法,2,：,用一个有限小的变量,代替第一列为零的那一项，然后按通常方法计算其余各项。如果,的上、下两项符号不同，则表明有一次符号变化，系统不稳定。,例：,上面的例子可如下计算：,当,趋于,0,时，是一个很大的负值，则第,1,列的数值的符号改变了两次，因此系统是不稳定的。,2,、劳斯表中出现全,0,行,解决办法：,用全,0,行的上一行的系数构造一个辅助方程，并对辅助方程求导，所得系数取代全,0,行的各项。辅助方程的根为特征方程的共轭虚根。,例：,系统的特征方程为：,劳斯表为：,作辅助方程 则,新的劳斯表为,劳斯表中第一列无符号改变，系统是稳定的。,3-6,线性系统的稳态误差,一、稳态误差,指对稳定的系统，系统稳态响应的期望值与实际值之间存在的误差。,如图所示，对于单位反馈系统，系统的期望值为,R(s,),，实际输出为,C(s,),，,误差为：,稳态误差为 ，,根据拉斯变换的终值定理，有,非单位反馈系统，如图所示，,此时误差可以在输入端定义,也可在输出端定义。,在输入端：,系统输入量与系统稳态输出的反馈测量值之差。在实际系统中可测量。,在输出端：,系统期望的输出值与实际稳态输出值之差。在实际系统中常无法测量。,约定：,实际采用输入端定义误差方法。,有：,则稳态误差为,系统的稳态误差与系统的开环传递函数,G(s)H
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