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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数列通项的求法,数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点。,一、,观察法,观察法,就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数,n,的内在联系。,适用于一些较简单、特殊的数列。,例,1,写出下列数列的一个通项公式,a,n,：,，,1,，,解出答案来,解：,注意分母分别是,2,2,，,2,3,，,2,4,，,2,5,，,，分子比分母少,1,，故,由奇数项特征和偶数项特征得：,a,n,=,二、,逐差求和法,若数列,a,n,满足,a,n+1,-a,n,=f(n)(,nN,),，,其中,f(n),是可求和数列，那么可用逐项作,差后累加的方法求,a,n,。,适用于差为特殊数列的数列。,例,2,求数列,1,，,3,，,7,，,13,，,21,，,的一个通项公式。,解出答案来,例,3,在数列,a,n,中，,a,1,=1,，,a,n+1,=2a,n,+2x3,n,，,求通项,a,n,。,解出答案来,注意：,最后一个式子出现,a,n-1,，必须验证,n=1,，此时,a,1,=1,，适合 上式，故,a,n,=n,2,-n+1,。,解：,a,2,-a,1,=3-1=2,a,3,-a,2,=7-3=4,a,4,-a,3,=13-7=6,a,n,-a,n-1,=2(n-1),a,n,-a,1,=21+2+3+(n-1)=n,2,-n,a,n,=n,2,-n+1,返回,解：,a,n+1,=2a,n,+2x3,n,a,n,=2a,n-1,+2x3,n-1,，,以上,(n-1),个式子相加有,a,n,=2x3,n,-5x2,n-1,，,当,n=1,时，,a,1,=2x3,1,-5x2,0,=1,，适合上式，,a,n,=2x3,n,-5x2,n-1,。,返回,三、,逐商求积法,若数列,a,n,满足,(,nN,),，其中数,列,f(n),前,n,项积可求，则通项,a,n,可用逐项作商后求积得到。,适用于积为特殊数列的数列。,例,4,求数列,1,，,2,，,8,，,64,，,1024,，,的通项公式,a,n,。,解略,例,5,在数列,a,n,中，,a,1,=2,，,求,a,n,。,解略,推广：,a,n+1,=f(n),a,n,型一般用累乘法。,四、,利用,Sn,与,an,的关系,利用,an=,可解决许多,已知,a,n,与,S,n,的关系题目中的,a,n,。,S,1,=a,1,(n=1),，,S,n,S,n-1,(n2),例,6,设,a,n,是正数组成的数列，其前,n,项和为,S,n,，并且对于所有自然数,n,，,a,n,与,2,的等差中项等于,S,n,与,2,的等比中项，求数列的通项,a,n,(1994,年高考题,),。,解出答案来,例,7,已知数列,a,n,满足,a,1,=1,，,S,n,=n,2,a,n,(n2),，求通项公式,a,n,。,解出答案来,解：,由题意可知,a,n+1,=S,n+1,-S,n,(n1),(a,n+1,+a,n,)(a,n+1,-a,n,-4)=0,由题意知,a,n+1,+a,n,0,，,a,n+1,-a,n,=4,即数列,a,n,是等差数列，其中,a,1,=2,，,d=4,a,n,=4n-2,返回,解：,a,n,=,a,n,=n,2,a,n,-(n-1),2,a,n-1,(n,2),以上,(n-1),个式子相乘有,又当,n=1,时，,a1=1,，符合题意。,故该数列通项公式：,1 (n=1),S,n,S,n-1,(n2),返回,五、,归纳法,对于一些由递推关系给出的数列，可以通过先研究前,n,项的结构与项数,n,的内在联系，用不完全归纳法对,a,n,作出猜想，然后，再用数学归纳法给予证明，这个方法也是求数列通项的一种基本方法。,例,8,在正数数列,a,n,中，,a,1,=1,且求,a,n,。,解出答案来,解：,解得，,a,1,=1,然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。,(,略,),返回,六、,构造等差、等比数列法,对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形来处理。,例,9,已知数列,a,n,满足,a,0,=4,，,a,1,=1,，且,a,n,=,解出答案来,解：,所以数列,a,n,-a,n-1,(n2),是以首项为,a,2,-a,1,=3/2,，公比为,q=-1/2,的等比数列，,继续,当,n=0,，,1,时，有,a,0,=4,，,a,1,=1,，符合上式，,该数列通项公式为：,返回,例,10,各项非,0,的数列,an,，首项,a,1,=1,，且,2S,n,2,=2a,n,S,n,-a,n,(n2),，试求数列的通项,a,n,。,解出答案来,解：,2S,n,2,=2S,n,a,n,-a,n,，,a,n,=S,n,-S,n-1,(n2)2S,n,2,=2S,n,2,-2S,n,S,n-1,-S,n,+S,n-1,又,a,1,=S,1,=1,不适合上式，数列通项公式为：,a,n,=,返回,附：其他例子,例,11 a,1,=3,，,a,n+1,=2a,n,+1,，求,a,n,。,例,12,已知,a,1,=3,，,a,2,=7,，,a,n,=3a,n-1,-2a,n-2,，求,an,。,例,13,已知,a,1,=,3,，,a,2,=3,，且,a,n+2,=a,n+1,-a,n,，求,a,n,。,
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