偏微分方程的解法

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,偏微分方程的解法,1,、设置,PDE,的定解问题即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式；和系数,2,、用有限元法（,FEM,）求解,PDE,即网格的生成、方程的离散以及求出数值解；,3,、解的可视化,主要讲述如何用,MATLAB,实现对偏微分方程的仿真求解,MATLAB,的偏微分方程工具箱（,PDE Toolbox,）的出现，为偏微分方程的求解以及定性研究提供了捷径主要步骤为：,PDEToolbox,注意事项,只能解决二维模型，一维的扩成二维，三维的缩成二维，时间维不计算在内,公式类型,，只能解决部分偏微分方程，由公式类型决定,边界条件两种，,Dirichlet,和,Neumann,初始条件,先确定方程大类,Draw Mode,画图模式，先将处理的区域画出来，,二维,，方形，圆形，支持多边形，可以手动更改坐标，旋转,rotate,例如，对于细杆导热，虽然是一维问题，可以将宽度,y,虚拟出来，对应于,y,的边界条件和初始条件按照题意制定,Boundary Mode,PDE Mode,PDE Specification,，确定偏微分方程类型共有四种：,椭圆形,Elliptic,抛物型,Parabolic,双曲型,Hyperbolic,Mesh Mode,网格划分，细化,Solve,，,Plot,如果有初始条件（与,t,有关），则在,Solve,的,Parameters,里有其设定，如果没有初始条件（与,t,无关），则不必设定,Plot,只是确定画图的参数，包括是否动画，是否,3D,，是否画出等温线，是否有箭头。,Save As,保存成,M-file,，自动生成,例：解热传导方程,边界条件是齐次类型，定解区域自定,。,【,解,】,第一步：启动,MATLAB,，键入命令,pdetool,并回车，就进入,GUI,在,Options,菜单下选择,Gid,命令，打开栅格，栅格使用户容易确定所绘图形的大小,第二步：选定定解区域本题为自定区域：自拟定解区域如图,22 1,所示：,E1-E2+R1-E3,具体用快捷工具分别画椭圆,E1,、圆,E2,、矩形,R1,、圆,E3,然后在,Set formula,栏中进行编辑并用算术运算符将图形对象名称连接起来,(,或删去默认的表达式，直接键入,E1-E2+R1-E3),第三步：选取边界,首先选择,Boundary,菜单中,Boundary Mode,命令，进入边界模式然后单击,Boundary,菜单中,Remove All Subdomain Borders,选项。从而去掉子域边界，如图,22 2,单击,Boundary,菜单中,Specify Boundary Conditions,选项，打开,Boundary Conditions,对话框，输入边界件本例取默认条件，即将全部边界设为齐次,Dirichlet,条件，边界显示为红色,如果想将几何与边界信息存储，可选,Boundary,菜单中的,Export Decomposed Geometrv,Boundary Conds,命令，将它们分别存储在,g,、,b,变量中，并通过,MATLAB,形成,M,文件,第四步：设置方程类型,选择,PDE,菜单中,PDE Mode,命令，进入,PDE,模式，,再单击,PDE,菜单中,PDE Secification,选项，打开,PDE Secification,对话框，设置方程类型,本例取抛物型方程,故参数,c,a,f,d,分别是,l,，,0,，,10,，,1,第五步：,选择,Mesh,菜单中,Initialize Mesh,命令，,进行网格剖分，,选择,Mesh,菜单中,Refine Mesh,命令，使网格密集化,，,如图,22.3,第六步：解偏微分方程并显示图形解,选择,Solve,菜单中,Solve PDE,命令，解偏微分方程并显示图形解，如图,2.4,所示,第七步：,单击,Plot,菜单中,Parameter,选项，打开,Plot Selection,对话框，选中,Color,Height(3D plot),和,Show mesh,三项,.,再单击,Polt,按钮，显示三维图形解，如图,22.5,所示,.,第八步,：若要画等值线图和矢量场图，单击,plot,菜单中,parameter,选项，在,plot selection,对话框中选中,contour,和,arrow,两选项。然后单击,plot,按钮，可显示解的等值线图和矢量场图，如图,2.6,所示。,图,2,.6,解的等值线图和矢量场图,求解椭圆型方程的例子,求解抛物型方程的例子,考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边保持在,100 C,，板的右边热量从板向环境空气定常流动，其他边及内孔边界保持绝缘。初始 是板的温度为,0 C,，于是概括为如下定解问题,;,区域的边界顶点坐标为,(-0.5,-0.8),(0.5,-0.8),(-0.5,0.8),(0.5,0.8),。,内边界顶点坐标,(-0.05,-0.4),(-0.05,0.4),(0.05,-0.4),(0.05,0.4),。,求解双曲型方程的例子,