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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,黄冈中学网校达州分校,5.3,实数与向量的积,（一）,yyyy年M月d日星期,黄冈中学网校达州分校,教学目标：,1.,掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；,2.,掌握实数与向量的积的运算律；,3.,理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行,.,教学重点：,掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件,教学难点：,对向量共线的充要条件的理解,黄冈中学网校达州分校,向量的加法,(,三角形法则,),如,图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a,+,b,.,a,b,作法,:,在,平面中任取一点,O,a,A,b,B,a,+,b,过O作OA=,a,则OB=,a,+,b,.,过A作AB=,b,o,一、复 习 引 入：,黄冈中学网校达州分校,向量的加法,(,平行四边形法则,),如,图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a+b,.,a,o,a,A,b,B,b,a+b,C,OC=,a,+,b,黄冈中学网校达州分校,向量的减法,(,三角形法则）,如,图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a,-,b,.,a,b,o,a,A,b,B,a-b,BA=,a,-,b,黄冈中学网校达州分校,试,作出：,a,+,a,+,a,和,(-,a,)+(-,a,)+(-,a,),已知非零向量,a,（,如图）,a,a,a,a,O,A,B,C,-a,-a,-a,P,Q,M,N,相同向量相加以后，,和的长度与方向有什么变化？,黄冈中学网校达州分校,定义：,一般地，实数,与向量,a,的,积,是一个,向量,，这种运算叫做,向量的数乘运算,，记作,a,，它的,长度,和,方向,规定如下：,(1)|,a,|=|,|,a,|,(2),当,0,时,a,的方向与,a,方向相同；,当,0,时,a,的方向与,a,方向相反；,特别地，当,=0,或,a=0,时,a,=,0,黄冈中学网校达州分校,(1),根据定义，求作向量,3(2,a,),和,(6,a,)(,a,为非零向量,),，并进行比较。,(2),已知向量,a,b,，,求作向量,2(,a+b,),和,2,a+,2,b,，,并进行比较。,=,黄冈中学网校达州分校,运算律：,设,a,b,为任意向量，,为任意,实数,，则有：,(,a,)=(),a,(,+,),a=,a+,a,(,a+b,)=,a+,b,黄冈中学网校达州分校,例,1,：计算,:(1)(,3)4,a,(2)3(,a+b,)-2(,a,b,)-,a,(3)(2,a,+3,b,c,)-(3,a,2,b,+,c,),解：,原式,(,34),a,12,a,(2),原式,3,a,+3,b,2,a,+2,b,-,a,5,b,(3),原式,2,a,+3,b,c,3,a,+2,b,c,a,+5,b,2,c,黄冈中学网校达州分校,例,2:,若,3,2,，,3,，其中,，,是已知向量，求,，,.,分析：此题可把已知条件看作向量,、,的方程，通过方程组的求解获得,、,.,解：记,3,2,3,得,得,11,.,将代入有：,评析：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致,.,黄冈中学网校达州分校,共线向量的条件：,对于向量,a(a0),b,，,以及实数,问题,1,：如果,b=,a,那么，向量,a,与,b,是否共线？,问题,2,：如果,向量,a,与,b,共线,那么，,b=,a,？,定理：,向量,b,与非零向量,a,共线,当且仅当,有且只有一个实数,，,使得,b=,a,黄冈中学网校达州分校,(,证明,：,(1),必要性向量,a,与,b,共线，,a,0,设,|,b,|:|,a,|=,当,a,与,b,同方向时，有,b,=,a,当,a,与,b,反方向时，有,b,=,a,令,=|,|=,则,b,=,a,(2),充分性：对于向量,a,(,a,0),、,b,有一个实数,，,使,b,=,a,由实数与向量积的定义，得,a,与,b,共线，由,(1)(2),可得，命题成立。,定理：,向量,b,与非零向量,a,共线,当且仅当,有且只有一个实数,，,使得,b=,a,黄冈中学网校达州分校,A,B,D,E,C,黄冈中学网校达州分校,例,4,：,所示，,黄冈中学网校达州分校,AC,与,AB,有公共点,A,黄冈中学网校达州分校,所示，,1,、,练 习：,黄冈中学网校达州分校,黄冈中学网校达州分校,2,、,如图，在平行四边形,ABCD,中，点,M,是,AB,中点，点,N,在线段,BD,上，且有,BN=BD,，,求证：,M,、,N,、,C,三点共线。,提示：设,AB =,a,BC =,b,则MN=,a+,b,MC=,a+,b,黄冈中学网校达州分校,小结回顾,一、,a,的定义及运算律,向量共线定理,(a0),b=,a,向量,a,与,b,共线,二、定理的应用：,1.,证明 向量共线,2.,证明 三点共线,:AB=,BC A,B,C,三点共线,3.,证明 两直线平行,:,AB=,CD ABCD,AB,与,CD,不在同一直线上,直线,AB,直线,CD,黄冈中学网校达州分校,
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