抽样与抽样分配课件

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,統計學：觀念、方法、應用 3/e 8,-,*,Chapter 8 抽樣與抽樣分配,前程企業,抽樣方法 抽樣分配 樣本平均數之抽樣分配 兩樣本平均數差之抽樣分配 樣本變異數之抽樣分配,t-,分配,F-,分配,結論,1,抽樣方法 抽樣分配 樣本平均數之抽樣分配,8.1 抽樣誤差(1/5),誤差,非抽樣誤差,：,在蒐集資料之過程中，因筆誤、打字,錯誤、問卷設計不良、訪問者態度、技巧的差別、,受訪者未回卷等一些非抽樣步驟因素，造成資料處,理錯誤所引起之誤差。,(主要係人為疏失),抽樣誤差,：,由於抽樣方法、抽樣之樣本大小、樣本,統計量的選擇方式等因素，造成樣本統計量與母體,參數之差異。,抽樣一定會有誤差!,2,8.1 抽樣誤差(1/5)誤差抽樣一定會有誤差!2,8.1 抽樣方法(2/5),(一),非隨機抽樣法,(non-random sampling,),統計調查時抽取之樣本,並不是依照機率模式,設計去抽,取，而是根據個人的意志如自己的專長、知識、研究,的目的或考慮資料取得的方便性來選取樣本的方法。,(二)隨機抽樣法(random sampling),若抽樣之過程符合下列三個條件，則稱此抽樣方法為,隨機抽樣法：,(1)母體中之,任何一個資料均有被抽出的可能性,，,(2)任一組樣本,被抽取之機率均可計算得知,，,(3)任一組樣本,被抽取之過程均為獨立,。,3,8.1 抽樣方法(2/5)(一)非隨機抽樣法(non-ra,8.1 抽樣方法(3/5),隨機樣本,若,R.V.,彼此獨立且具有相同之機率分配，則稱,為一組大小為,n,之隨機樣本。,以下我們介紹四種常用之隨機抽樣方法。,(1),簡單隨機抽樣法,(simple random sampling)：,母體中所有可能,的樣本，其被抽出的機率均相等的抽樣方法。一般常用抽,籤法及亂數表法兩種方式。,抽籤法：將母體資料加以編號，並將號碼放入箱內，再由,箱內抽出所需之樣本。,亂數表法：依據亂數表的號碼抽取樣本。而亂數表的構成,是利用隨機抽取的數字，然後將抽取的數字依序排列成一,隨機數字表。,4,8.1 抽樣方法(3/5)隨機樣本4,8.1 抽樣方法(4/5),(2),系統抽樣法,(systematic sampling),：,需將母體個數為,N,的資料依序由1至,N,加以編號，並給定一個,抽樣間隔,k,，由編號1至,k,的資料中隨機抽取第一個樣本，然後,再依第一個樣本資料之編號，每加,k,個單位取一個樣本,，直到編號超過母體個數為止；或每隔,k,個單位時間抽取一個樣本，直到抽取所需之樣本為止。,(例k=10，抽1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,101),(3),分層隨機抽樣,(stratified random sampling)：,將母體按其差異性分為若干個次群體(稱之為層(stratum)，使得,任兩個次群體的交集為空集合，且所有次群體的聯集為整個母體,，然後在各層中,依其母體的比率,以簡單隨機抽樣法抽出各層之隨機樣本，最後將各層之隨機樣本合併起來，即為一組分層隨機樣本。,(校、院、系、班),5,8.1 抽樣方法(4/5)(2)系統抽樣法(systemat,分層隨機抽樣-說明,以某校需抽取100人為例,其下層(次群體)分別為院、系、班,依各院人數佔全校之比例，依此為準，以簡單隨機抽樣抽取各系名稱，直至其人數到達該院之比例人數為止,其與集群抽樣最大不同，在於集群抽樣不受限於各院在學校所佔人數比例,6,分層隨機抽樣-說明以某校需抽取100人為例6,8.1 抽樣方法(5/5),(4),集群抽樣,(cluster sampling)：,將母體依其相似性分成,若干的次群體(稱為集群(cluster),),，使得任兩個次群體,的交集為空集合，且所有次群體的聯集為整個母體，,然後,利用簡單隨機抽樣,抽出若干集群，最後再對所抽,出的集群全面調查。,7,8.1 抽樣方法(5/5)(4)集群抽樣(cluster s,8.2 抽樣分配,抽樣分配,樣本僅為母體的一部分,，且樣本統計量隨著所選取,的樣本不同，產生的數值也將不同，因此，為了更,精確的推論母體參數，必須先瞭解樣本統計量之機,率分配。然而，由於,樣本統計量之機率分配除了取,決於母體的機率分配外，樣本大小及抽樣的方法也,將影響其機率分配,，因此樣本統計量之機率分配稱,之為抽樣分配(sampling distribution)。,8,8.2 抽樣分配抽樣分配8,8.3 樣本平均數之抽樣分配(1/7),(一)常態母體,若隨機樣本 取自於一具有常態分配,之母體，則,R.V.,，,i,=1,2,n,，此時 之,機率分配可由以下定理得知。,定理8-1,若 為一組大小為,n,之隨機樣本,且 ，,i,=1,2,n,，,則,9,8.3 樣本平均數之抽樣分配(1/7)(一)常態母體9,8.3 樣本平均數之抽樣分配(2/7),推理8-2,若樣本資料 取自於一具有常態分配,之母體，則,另外，關於 的期望值與變異數，可直接計算如下：,參見例,8.1,10,8.3 樣本平均數之抽樣分配(2/7)推理8-2 若,8.3 樣本平均數之抽樣分配(3/7),例8.1,假設某小學全校學生的體重呈現常態分配，且其平均體重為45公,斤，標準差為4公斤。請問，,(1)隨機抽出1位學生，體重大於50公斤的機率為何？,(2)隨機抽出25位學生為樣本，其平均體重大於50公斤之機率為,何？,【解】,(1)令,X,表抽樣所得之學生體重，則 。由此可,知，其體重大於50公斤之機率為,11,8.3 樣本平均數之抽樣分配(3/7)例8.111,8.3 樣本平均數之抽樣分配(4/7),承上頁,(2)令 為所抽出之25位學生體重，由假設得知，對於 且 彼此互,相獨立，由推理8-2得知,因此，,12,8.3 樣本平均數之抽樣分配(4/7)承上頁 12,8.3 樣本平均數之抽樣分配(5/7),(二)大樣本,當隨機樣本不是取自於常態母體時，其平均數的,機率分配不易計算，不,過當樣本為大樣本時，我,們可發現樣本平均數 亦近似於常態分配,。,當,n,越大，則 之機率分配越接近於常態分配,然而，不論母體資料具有何種機率分配，當樣本,個數,n,夠大時，樣本平均數之機率分配均近似於,常態分配，此即著名的中央極限定理,13,8.3 樣本平均數之抽樣分配(5/7)(二)大樣本13,8.3 樣本平均數之抽樣分配(6/7),定理8-3 中央極限定理,若一組隨機樣本 取自於平均數為 ，變異,數為 之母體，且其樣本平均數,，則當 時，,定理8-4,若一離散型隨機變數,X,具有二項分配且,R.V.X,b,(,n,p,),當,n,，則,參見例,8.2,14,8.3 樣本平均數之抽樣分配(6/7)定理8-3 中央,8.3 樣本平均數之抽樣分配(7/7),例題8.2,已知某罐裝飲料熱量之平均數,105(卡)，標準差,4(卡)。,今隨機抽取100瓶此罐裝飲料做檢驗。試問，此100瓶罐裝飲料,平均熱量至少106卡熱量的機率為何？,【解】,利用中央極限定理，,因此，,15,8.3 樣本平均數之抽樣分配(7/7)例題8.215,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(1/5),(一)成對樣本,當成對樣本之觀測值為 ，則,令,由此可得，之抽樣分配即為 之抽樣分配,，其中 。因此在成對樣,本條件下，兩樣本平均數差之抽樣分配可視為單一樣本,平均數之抽樣分配。,16,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(1/5)(一)成對樣本16,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(2/5),(二)獨立樣本,(1)兩母體均為常態分配,由定理8-1得知,由於 為兩個常態分配之線性組合，根據定理8-1，其,平均數與變異數如下：,由此可知，,17,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(2/5)(二)獨立樣本17,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(3/5),(2)兩樣本均為大樣本,由中央極限定理得知，當 且 ，則,如前所述，。即,參見例,8.3,18,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(3/5)(2)兩樣本均為大,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(4/5),例8.3,假設有兩條獨立之生產線，已知兩生產線產品之平均重量分別為,6.5公克及6公克，標準差分別為0.9公克及0.8公克，今隨機由兩生,產線分別抽出36件及49件產品為樣本。請問第一組樣本平均數大,於第二組樣本平均數1公克之機率為何？,【解】,令 、分別表兩組樣本之平均重量，則 近似於,，近似於 。由此得知,19,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(4/5)例8.319,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(5/5),承上頁,而第一組樣本平均數大於第二組樣本平均數1公克之機率為,20,8.4 兩樣本平均數差之抽樣分配(5/5)承上頁20,8.5 樣本變異數之抽樣分配(1/2),定理8-5,假設一組隨機樣本 取自一常態分配,之母體，則,卡方分配之臨界值,若 ，以 來表示隨機變數,X,大於 之,機率為 ，則,參見例,8.5,21,8.5 樣本變異數之抽樣分配(1/2)定理8-5 假設,8.5 樣本變異數之抽樣分配(2/2),例8.5,某家電公司宣稱其所生產之產品穩定性高：產品長度之標準差1毫,米。今隨機抽取此公司所製造之產品10件作測量，得其標準差1.5,毫米，請問是否能相信此公司之宣稱?(假設母體具有常態分配),【解】,由樣本變異數之抽樣分配得知，,假設此公司宣稱 為真時，,由此可得有95%的機率 介於 與 之間，即,經查表可得,抽樣所得之樣本標準差為1.5，因此 不落在此範圍之內,，由此可知假設錯誤，即此公司所製造之產品標準差並非1毫米。,22,8.5 樣本變異數之抽樣分配(2/2)例8.522,8.6,t,-分配(1/4),t,-分配,令,Z,為具有標準常態分配之隨機變數且,V,為具有自由度為,v,的卡方分配之隨機變數。若,Z,、,V,為互相獨立，則稱,為具有自由度,v,之,t-,分配或Student,t,-分配，一般以,表之。其機率密度函數為,23,8.6 t-分配(1/4)t-分配23,8.6,t-,分配(2/4),定理8-6,若 為取自於常態母體之隨機樣本，且 ，,分別為此樣本之平均數與變異數，則,然而，基於,t,-分配之對稱性，可知,t,-分配具有以下特性：,(1)若 ，則,(2),參見例,8.7,24,8.6 t-分配(2/4)定理8-6 若,8.6,t,-分配(3/4),例題8-7,假設某廠牌行動電話之重量呈現常態分配，今此廠商宣稱其平均,重量為78公克，然而倘若隨機抽取此廠牌行動電話10支，得其平,均重量80公克，標準差4公克，請問我們是否可相信此廠商之宣,稱為真?,【解】,在母體為常態，未知條件下，,假設此廠商宣稱 公克為真時，,25,8.6 t-分配(3/4)例題8-725,8.6,t,-,分配(4/4),承上頁，,由此可得有95%的機率,T,介於 與 之間，即,經查表可得,而抽樣所得結果 ，即,落在2.2622至2.2622之中，因此我們有理由相信此廠商,之宣稱。,26,8.6 t-分配(4/4)承上頁，26,8.7,F,-分配(1/3),F,-分配,令,U,、,V,分別為具有自由度,u,及,v,之卡方分配的隨機變數,且,U,、,V,互相獨立，則稱隨機變數 具有自由度,之,F,分配。一般以 表之，其機率,密度函數為,27,8.7 F-分配(1/3)F-分配27,8.7,F,-分配(2/3),定理8-7,若 ，則,定理8-8,令 、分別表兩常態母體之變異數且 、分,別表取自於此兩母體之樣本變異數且其樣本個數分,別為,n,及,m,，則,具有自由度 之,F,分配。,28,8.7 F-分配(2/3)定理8-7 若,8.7 F-分配(3/3),定理8-9,例8.9,若,R.V,.，求,k,使得,【解】,29,8.7 F-分配(3/3)29,8.8 結論(1/4),在單一樣本平均數之抽樣分配中，我們可分成以,下四個情況。,(一)母體為常