教育专题：二次函数与一元二次方程1

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二次函数与一元二次方程,(1).,每个图象与,x,轴有,几个交点？,(2).,一元二次方程,x,2,+2x=0,x,2,-2x+1=0,有几个根,?,验证一下一元二次方程,x,2,-2x+2=0,有根,吗,?,(3).,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点的坐标,与一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根有什么关系,?,二次函数与一元二次方程,二次函数,y=x,2,+2x,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x+2,的图象如图所示,.,y=x,2,+2x,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x+2,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点有三种情况,:,有两个交点,有一个交点,没有交点,.,当二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴有交点时,交点的横坐标就是当,y=0,时自变量,x,的值,即一,元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根,.,(3).,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点的坐标与一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根有什么关系,?,一、探究,探究,1,、求二次函数图象,y=x,2,-3x+2,与,x,轴的交点,A,、,B,的坐标。,解：,A,、,B,在轴上，,它们的纵坐标为,0,，,令,y=0,，则,x,2,-3x+2=0,解得：,x,1,=1,，,x,2,=2,；,A,（,1,，,0,），,B,（,2,，,0,）,你发现方程 的解,x,1,、,x,2,与,A,、,B,的坐标有什么联系？,x,2,-3x+2=0,点燃智慧的火花,结论,1,：方程,x,2,-3x+2=0,的解就是抛物线,y=,x,2,-3x+2,与,x,轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。,即：若一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的两个根是,x,1,、,x,2,，,则抛物线,y=ax,2,+bx+c,与轴的两个交点坐标分别是,A,（），,B,（）,x,1,，,0,x,2,，,0,x,O,A,B,x,1,x,2,y,开启 智慧,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图象和,x,轴交点,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,根的,判别式,=b,2,-4ac,有两个交点,有两个相异的实数根,b,2,-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b,2,-4ac=0,没有交点,没有实数根,b,2,-4ac 0,开启 智慧,探究,2,、抛物线与,X,轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？,0,=0,0,O,X,Y,结论,2,：,抛物线,y=ax,2,+bx+c,抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴的交点个数可由,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根的情况说明：,1,、,0,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,有两个不等的实数根,与,x,轴有两个交点,相交,。,抛物线,y=ax,2,+bx+c,2,、,=0,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,有两个相等的实数根,与,x,轴有唯一公共点,相切（顶点）。,抛物线,y=ax,2,+bx+c,3,、,0,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,没有实数根,与,x,轴没有公共点,相离,。,探究,3,、若一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的两个根,是,x,1,、,x,2,，则由韦达定理得：,x,1,+x,2,=-,x,1,x,2,=,若抛物线,y=ax,2,+bx+c,与轴的两个交点坐标分别是,A,（,x,1,，,0,），,B,（,x,2,，,0,），则是否有同样的结论呢？,结论,3,、,若抛物线,y=ax,2,+bx+c,与轴的两个交点坐标分别是,A,（,x,1,，,0,），,B,（,x,2,，,0,），,则,x,1,+x,2,=-,，,x,1,x,2,=,二、基础训练,1,、已知抛物线,y=x,2,-6x+a,的顶点在,x,轴上，则,a=,；若抛物线与,x,轴有两个交点，则,a,的范围是,；,3,、已知抛物线,y=x,2,+px+q,与,x,轴的两个交点为（,-2,，,0,），（,3,，,0,），则,p=,，,q=,。,2,、已知抛物线,y=x,2,-3x+a+1,与,x,轴最多只有一个交点，则,a,的范围是,。,独立,作业,评,:,若抛物线,y=ax,2,+bx+c,与轴的两个交点坐标分别是,A,（,x,1,，,0,），,B,（,x,2,，,0,），利用根与系数的关系，求证：,A,、,B,两点间的距离,AB=,4,、判断下列各抛物线是否与,x,轴相交，如果相交，求出交点的坐标。,（,1,）,y=6x,2,-2x+1,（,2,）,y=-15x,2,+14x+8,（,3,）,y=x,2,-4x+4,5.,已知抛物线,求抛物线与,y,轴的交点坐标,;,求抛物线与,x,轴的两个交点间的距离,.,6,、抛物线,y=ax,2,+bx+c,（,a0,）的图象全部在轴下方的条件是（）,（,A,）,a,0 b,2,-4ac0,（,B,）,a,0 b,2,-4ac,0,（,C,）,a,0 b,2,-4ac,0(D,）,a,0 b2-4ac,0,D,7,已知二次函数,-ax,2,，下列说法,不正确,的是（）,当,时,总取负值,当,时,随的增大而减小,当时，函数图象有最低点，即有最小值,当，,-ax,2,的对称轴是轴,D,三、例题精讲,1,、已知抛物线,y=x,2,+2x+m+1,。,（,1,）若抛物线与,x,轴只有一个交点，求,m,的值。,（,2,）若抛物线与直线,y=x+2m,只有一个交点，,求,m,的值。,提示,：（,1,）,4,4,（,m,1,）,0,注：本题也可问当此抛物线顶点在,x,轴上时，求,m,的值。,（,2,）即方程,x,2,+2x+m+1=x+2m,的根只有一个。,2,、已知抛物线,y=-x,2,+2,（,m+1,）,x+m+3,与,x,轴有两个交点,A,、,B,，其中,A,在,x,轴的正半轴，,B,在,x,轴的负半轴，,1,）若,OA=3OB,，求,m,的值。,2,）若,3,（,OA-OB,）,=2OAOB,，求,m,的值。,例题精讲,学以致用,右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是,1m,，,拱桥的跨度为,10m,，,桥洞与水面的最大距离是,5m,，,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面,4m,的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）,1,、求抛物线 的解析式,2,、求两盏景观灯之间的水平距离,5,1,10,?,5m,1m,10m,?,A,B,C,D,4,注意知识的联系哦,学以致用,已知二次函数,y=x2-kx-2+k.,(1),求证,:,不论,k,取何值时，这个二次函数,y=x2-kx-2+k,与,x,轴有两个不同的交点。,(2)k,为何值时,二次函数,y=x,2,-kx-2+k,与轴两个交点,A,、,B,之间的距离最小？,（,3,）设此抛物线与,y,轴的交点为,C,，当,k,为,6,时,求,SABC.,四、小结,1,、若一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的两个根是,x,1,、,x,2,，则抛物线,y=ax,2,+bx+c,与,x,轴的两个交点坐标分别是,A,（,x,1,，,0,），,B,（,x,2,，,0,）,2,、若一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,与二次三项式,ax,2,+bx+c,及二次函数,y=ax,2,+bx+c,这三个“,二次,”之间互相,转化,的关系。体现了,数形结合,的思想。,3,、,A,、,B,两点间的距离,AB=,。,4,、二次函数,y=ax,2,+bx+c,何时为一元二次方程,?,它们的关系如何,?,小结 拓展,祝你成功！,驶向,胜利的彼岸,课后探究,校运会上，某运动员掷铅球，铅球的高,y(m,),与水平距离,x(m,),之间的函数关系式为,y=-0.2x,2,+2x+1.7,，则此运动员的成绩是多少？,再 见,