第八章-弯曲变形

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 弯曲变形,Bending deformation,赠言：,大过，栋橈，利有攸往，亨。,周易上经,大过,注释,：,大过，卦名；非常过度的意思,栋，即梁,橈（,rao,），,挠（,nao,）,曲的树木称为橈,攸，即所；利有攸往，意思,有利于所往的方向,亨，亨通,理解,：,事物发展得非常过度，好象栋梁挠曲，有利于所,往方向的继续发展，达到亨通。,1,以上理解有,2,个关键：,1,、横看卦象；,2,、阴爻看成支座。,“小过”卦可以佐证,小过，亨，利贞，可小事，不可大事，,2,弯曲问题的分析过程：,弯曲内力,弯曲应力,弯曲变形,解决刚度问题,尽量从理论上分析,一般,然后实验上验证,个别,3,拉压,伸长量,扭转,转角,弯曲,挠度,deflection,转角,rotation,工程上的梁变形问题不容忽视,影响使用,引发破坏,产生不安全感,减少冲击、振动,利用变形作为开关,提高性能,4,本章的任务,1.,建立小变形,挠度、转角曲线,微分方程,2.,用,积分法,和,叠加法,求梁的挠度和转角,研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位移,的计算,研究目的,：,对梁作刚度校核,解超静定梁,5,8.1,梁变形的基本概念,Basic concepts of beam deformation,变形后梁轴,线挠曲线,挠度：,y,变形后梁截面：仍为平面,梁截面转角：,P,x,y,C,q,C,1,f,变形前梁截面：平面,6,1.,挠度：,横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移,用,y,表示，与坐标,f,同向为正，反之为负,2.,转角：,横截面绕其中性轴转动的角度,，用,表示,顺时针转动为正，,反之为负,3.,挠曲线：,梁变形后，轴线变成的光滑曲线,其方程为,y,=,f,(,x,),7,5.,刚度校核,许用挠度见,P220,表,8.1,4.,转角与挠曲线的关系：,小变形,x,P,y,C,q,C,1,f,8,已知曲率为,小变形,f,x,M,0,f,x,M,0,弯矩与,2,阶导数的符号相反,上式取负号,8.2,梁挠曲的近似微分方程,Differential Equation of beam deformation,9,挠曲线近似微分方程,对于等截面直梁，可写成如下形式：,10,1.,微分方程的积分,8.3,积分法求梁变形,利用位移边界条件确定积分常数,11,支点位移条件,连续条件,光滑条件,固定支座,P,D,2.,位移边界条件,铰支座,P,A,B,C,12,积分法求梁变形,适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲,可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移,积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、,连续条件）确定,优点,使用范围广，精确；缺点,计算较繁,铰连接,P,D,C,13,积分法求梁变形的基本步骤：,写出,弯矩方程,；若弯矩不能用一个函数给出,要分段写出,由,挠曲线近似微分方程,，积分出转角、挠度函数,利用,边界条件,、,连续条件,确定积分常数,如果分,n,段写出弯矩方程，则有,2,n,个积分常数,14,例,求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角,建立坐标系并写出弯矩方程,写出,微分方程，并积分,用边界条件,求积分常数,解：,a,P,L,x,f,15,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,a,P,L,x,f,16,解：,建坐标系、写弯矩方程,写出,微分方程，并积分,例,.,求梁的变形,a,P,L,x,f,17,应用位移边界条件和连续条件,求积分常数,a,P,L,x,f,18,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,a,P,L,x,f,总结：分段求弯矩，分段积分,利用,边界条件、连续条件,求常数,19,边界条件、连续条件应用举例,a2m,a,q=10kN/m,A,D,B,E,a,P20kN,A,D,B,E,10kN,m,20kN,m,(-),(+),弯矩图三段，共,6,个,积分常数,需,6,个边界条件和,连续条件,20,边界条件、连续条件应用举例,A,B,C,D,弯矩图分三段，共,6,个积分常数,需,6,个边界条件和,连续条件,铰连接,P,A,C,D,21,Pa,(+),弯矩图分二段，,共,4,个积分常数,需,4,个边界条件,和连续条件,P,A,B,C,边界条件、连续条件应用举例,22,叠加原理：,承受复杂载荷时，可,分解,成几种,简单载荷,，,利用,简单载荷作用下的,位,移计算结果,，,叠加后得在复杂载荷作,用下的挠度和转角,条件：,材料服从,胡克定律,和,小变形,挠度和转角均与载荷成线性关系,8.4,叠加法求梁变形,23,例,按叠加原理 求,A,点转角 和,C,点挠度,解：,载荷分解如图,查梁的简单载荷变形表，,得到变形,A,q,P,B,C,a,a,=,+,P,A,B,q,A,B,24,叠加,A,q,P,B,C,a,a,=,+,P,A,B,q,A,B,25,结构形式叠加（逐段刚化法,),原理说明,+,等价,等价,B,C,P,L,2,f,1,x,f,=,A,x,P,L,1,L,2,B,C,f,f,P,A,B,C,刚化,AC,段,P,L,1,L,2,A,B,C,刚化,BC,段,P,L,1,L,2,f,2,A,B,C,M,x,f,26,例题：已知,P,E,G,，求,C,点铅垂位移,P,A,B,C,尺寸：,l,d,尺寸：,a,b,h,分析：,AB,弯曲,+,扭转变形,，,BC,弯曲变形,故,C,点的挠度由三部分组成,AB,弯曲,引起的,B,点下沉,AB,扭转,引起,C,点位移,BC,弯曲,引起,C,点下沉,27,解,：采用逐段刚化法,将,AB,刚化,计算,BC,弯曲变形引起的,C,点的挠度,.,P,B(,固定端,),C,尺寸：,a,b,h,28,(2),将,BC,刚化,即去掉,BC,，,但保留,BC,对,AB,的,作用力，计算,AB,弯曲引起的,C,点的挠度,P,A,B,尺寸：,l,d,T,29,(3),将,BC,刚化计算,AB,扭转变形引起的,C,点的挠度,计算,B,截面扭转角,B,C,所以，,C,点位移为：,P,A,B,尺寸：,l,d,T,30,8.5,提高弯曲刚度的一些措施,1,、减小梁的跨度,2,、选择合理截面形状,3,、改善梁的受力和支座位置,4,、预加反弯度,5,、增加支座,31,L,q,0,M,A,B,A,q,0,L,R,B,A,B,x,q,0,L,A,B,f,或,8.6,用变形比较法解简单超静定,梁,处理方法：,3,种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，,求全部未知力,解：,建立静定基,确定超静定次数,用反力代替多余约束,得新结构,静定基,等价,32,几何方程,变形协调方程,q,0,L,R,B,A,B,=,+,R,B,A,B,q,0,A,B,物理方程,补充方程,求解其它问题,（反力、应力、变形等）,33,几何方程,变形协调方程,解：,建立静定基,例,10,求,B,点反力,=,L,BC,x,f,q,0,L,R,B,A,B,C,q,0,L,R,B,A,B,=,R,B,A,B,+,q,0,A,B,34,+,物理方程,变形与力的关系,补充方程,L,BC,x,f,q,0,L,R,B,A,B,C,=,R,B,A,B,q,0,A,B,求解其它问题,（反力、应力、变形等）,35,本章小结：,1,、微分方程的导出,2,、微分方程的解法,积分法求变形,3,、叠加法求变形,4,、变形比较法,超静定梁,习题：,8.6,8.7,8.22,8.29,36,