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*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,10/5/2024 1:08 AM,*7.6,一阶和二阶常系数线性差分方程,1.,一阶常系数线性差分方程,2.,二阶常系数线性差分方程,10/5/2024 1:08 AM,1.,一阶常系数线性差分方程,第,7,章 微分方程与差分方程,的方程称为,一阶常系数线性差分方程,。,形如,为已知函数，,其中,为未知函数，,当,时，,方程（,1,）称为,非齐次的,；,当,时，,方程（,1,）称为,齐次的,。,10/5/2024 1:08 AM,一阶常系数线性差分方程的解法,第,7,章 微分方程与差分方程,1,）齐次方程的解法,设已知，,中得,这种解法称为,迭代法,。,将依次代人,一般地，,可以验证，,满足差分方程，,因此是差分方程的解,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,2,）一般解法,即,若是方程（,1,）的一个特解，,它与方程（,1,）相减得,由前面知，,令，,即是对应齐次方程的解，,也是齐次方程的解,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,而是非齐次方程的一个特解，,因此是,是齐次方程的通解，,故 是,由通解的定义知，,非齐次方程的解，,而且含有任意常数，,非齐次方程（,1,）的通解。,非齐次方程,通解,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,代人方程中得,特解，,设是此方程的一个特解，,称为,特征方程,，,因此是它的通解,首先求齐次方程的通解,其根,称为,特征根,，,故是此齐次方程的一个,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,方程转化为,再求非齐次方程的特解,代人方程得,利用迭代法,设给定初值，,依次将,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,因此猜想方程的解为,当时，,当时，,可以验证在这两种情况下均为方程的解。,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,的特解。,当时，,利用待定系数法,设方程具有形式,取，,代人方程得,所以方程的特解为,又因对应的齐次方程的通解为,故此方程的通解为,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,当时，,取，,对应的齐次方程的通解为，,通解为,将代人方程得,此时方程的特解为，,而当时，,故此方程的,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,1,求差分方程的通解,解,代人式得通解,由题意,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,的特解,方程转化为,利用待定系数法,设方程具有形如,当时，,取，,即，,代人方程得,于是,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,当时，,通解为,当时，,通解为,取，,取，,（自己推出）,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,2,求差分方程的通解,解,代人式得通解,由题意,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,的特解。,方程转化为,设方程具有形如,当时，,取，,代人方程，,得到方程的特解。,将,比较同次系数，,确定出,对于是一般的次多项,式的情况可类似求解。,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,当时，,取，,此时将,代人方程，,得到方程的特解。,比较同次系数，,确定出,这种情况下，,方程的左端为,方程为，,可将化成的形式,求出它的一个特解。,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,3,求差分方程的通解,解,比较系数得,设，,代人原方程,原方程的特解为,对应齐次方程的通解为，,故原方程的通解,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,4,求差分方程的通解,解,而,方程转化为,通解为,故,所以,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,5,在农业生产中，种植先于产出及产,品的出售一个适当的时期，,时期该产品的价,格决定着生产者在下一时期愿意在市场上,提供的产量，,还决定着本期该产品的需,求量，,因此有,求价格随时间变化的规律。,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,解,假设在每一时期中价格总是确定在,市场出清的水平上，,即，,得差分方程,因此得到,由于,所以，,故方程是形如（,2,）的方程，,按求解。,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,于是，,对应的齐次方程的通解为，,当时，,通解为,方程的特解为,所求问题的,（初始价格），,代人通解得,则满足初始条件的特解为,10/5/2024 1:08 AM,2.,二阶常系数线性差分方程,第,7,章 微分方程与差分方程,的差分方程称为,二阶常系数线性差分方程,。,形如,当时，,方程（,4,）称为,非齐次的,；,当时，,称其为方程（,4,）对应的,齐次方程,。,方程,10/5/2024 1:08 AM,二阶常系数线性差分方程的通解,第,7,章 微分方程与差分方程,=,对应的齐次方程的通解,+,非齐次方程的特解,1,）二阶常系数线性齐次差分方程的通解,设为一特解，,（,5,）得,代人方程,称其为（,5,）的,特征方程,其根,称为,特征根,。,10/5/2024 1:08 AM,根据特征根的情况确定方程通解的形式,第,7,章 微分方程与差分方程,特征根,通解,实数,其中,为任意常数。,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,方程（,4,）为,当时，,方程得,设方程（,6,）具有形式为的特解,方程有特解,函数时的特解,2.,方程（,4,）中取某些特殊形式的,（利用待定系数法求出）,取，,即，,代人,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,方程有特解,取，,即，,代人方程得,当且时，,方程有特解,取，,即，,代人方程得,当且时，,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,事实上，,（,6,）的左端为,于是方程转化为,方程,当时，,所以，,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,6,求差分方程的,解,特征方程,故原方程的通解为,通解及时的特解,对应的齐次方程的通解为,因为,所以特解为,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,故所求特解为,代人初始条件,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,方程（,7.49,）为,当时，,代人方程得,设方程（,7,）具有形式为 的特解,方程有特解,取，,即，,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,当时，,代人方程得特解为,取，,即，,当时，,代人方程得特解为,取，,即，,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,方程（,4,）为,设方程（,7,）具有形式为,当时，,取，,的特解（其中为待定系数）,当且时，,取，,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,方程化为,对且的情况，,可得方程（,8,）的特解。,当时，,且，,取，,就以上各种情况，,分别将所设特解代人方,程，,比较同次项的系数，,确定出，,再将化为的形式，,若,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,7,求差分方程的,解,特征方程,通解,对应的齐次方程的通解为,因为,有特解形式,代人方程得,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,故原方程的通解为,比较同次项系数得,原方程的一个特解为,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,例,8,求差分方程的,解,特征方程,通解,对应的齐次方程的通解为,因为,有特解形式,代人方程得,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,故原方程的通解为,比较同次项系数得,原方程的一个特解为,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,内容小结,1.,一阶常系数线性差分方程,通解,当时，,通解,当时，,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,通解,当时，,通解,当时，,特解形式为,当时，,特解形式为,当时，,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,2.,二阶常系数线性差分方程,特征方程,特征根,（,1,）二阶常系数线性齐次差分方程,10/5/2024 1:08 AM,通解,第,7,章 微分方程与差分方程,实数,其中,为任意常数。,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,非齐次方程的通解,=,（,2,）二阶常系数线性非齐次差分方程,对应齐次方程的通解,+,非齐次方程的特解,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,特解,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,特解,10/5/2024 1:08 AM,第,7,章 微分方程与差分方程,特解形式,
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