消元法解线性方程组及其矩阵表示解析ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.1 消元法解线性方程组及其矩阵表示,一、消元法解线性方程组,二,、,用矩阵表示消元的过程,三,、线性方程组,解的情况,例1,解,二,元线性方程组,解,:用高斯消元法,（1.1）,（1.2）,（1.1）,3,（1.2）,（1.3）,一、消元法解线性方程组,及几何意义,+2,（1.3）,（1.4）,-,二元线性方程组解的几何解释,从行图像来看，,两直线交点（,x,=1，,y,=2）就为,方程组的解。,从列图像来看，方程组可表示为向量形式：,列向量的线性组合,当,x,=1，,y,=2时，可表示为 和 的线性组合。,当左侧向量,1,、,2,不共线,，,其所有的组合生成了整个平面。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的,x,、,y，,使得组合成立，即线性方程组有唯一解。,当左侧向量,1,、,2,共线,，,线性方程组有无穷多个解或无解。,思考：是否所有二维向量方程,x,1,+,y,2,=,b,，都能找出相应的,x,、,y，,使得方程成立？,例,2,解三元线性方程组,解,:用高斯消元法,（1.1）,（1.2）,（1.1）,-3,-,（1.2）,（1.3）,（1.3）,-2,（1.4）,行阶梯形方程组,回代易得,（1.5）,+,-,（1.6）,（1.7）,-2,（1.4）,2,5,（1.5）,（1.6）,三元线性方程组解的几何解释,从行图像来看，,三个平面的交点,（,x,=2，,y,=1，,z,=-2）就为,方程组的解。,从列图像来看，方程组可表示为向量形式：,列向量的线性组合,当,x,=2，,y,=1，,z,=-2时，可表示为 的线性组合。,思考：是否所有三维向量方程,x,1,+,y,2,+,z,3,=,b,，都能找出相应的,x,、,y、z，,使得方程成立？,当左侧向量,1,、,2,、,3,不共面,，,其所有的组合生成了整个三维空间。故对于所有的右侧向量b，都可找到唯一的,x,、,y、z,，,使得组合成立，即线性方程组有唯一解。,当左侧向量,1,、,2,、,3,共面,，,线性方程组有无穷多个解或无解。,右侧向量b在其平面内，线性方程组有无穷多个解。,右侧向量b不在其平面内，线性方程组无解。,回顾上述化简消元的过程，我们发现只对方程组进行了三种变换：,（1）交换两个方程的次序；,（2）用非零数乘以某个方程；,（3）用一个数乘某个方程后加到另一个方程上。,这三个变换称为初等变换。,而且只对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量、+、=没有变化，故省去。那求解的过程可用相应的数表表示出来：,二,、,用矩阵表示消元的过程,同理，我们只对数表进行了三种变换：,（1）交换两行次序；记为,r,i,r,j,（行交换）,（2）用非零数乘以某行；记为,k,r,i,（行倍乘）,（3）用第,j,行的,k,倍加到第,i,行上。记为,r,i,+,k,r,j,（行倍加）,这三个变换称为初等行变换。,增广矩阵,系数矩阵,r,2,-3,r,1,r,3,-,r,1,r,1,r,2,例,2 用矩阵表示求,解三元线性方程组,：,r,3,-2,r,2,行阶梯形,矩阵：,下方元素均为零，,每个台阶只有一行，竖线后第一个数为非零。,r,2,2,r,3,5,r,2,+,r,3,r,1,-,r,3,有唯一,解,r,1,-2,r,2,单位矩阵E,解向量,备注：1）增广矩阵（A,b）只能进行初等行变换。,2）增广矩阵 ,即可得到解X，,但实际上，矩阵行变换到,行阶梯形,矩阵可更快速求出解。,3）解齐次线性方程组，只需对系数矩阵A进行初等行变换即可。,线性方程组解一共有三种情况：有唯一解，无穷个解，无解。,三,、线性方程组,解的情况,例,2 求,解线性方程组,解,:将增广矩阵初等行变换：,得，,3有效方程4个未知数，故有,无穷多个解,令,x,3,=任意值,c,，得,主元：每行第一个非零元素,x,1,x,2,x,4,非自由未知量,x,3,自由未知量,如何求出所有的解呢？,例,3 求,解,齐次,线性方程组,解,:将系数矩阵初等行变换：,得，,主元,令,x,3,=,c,1,，,x,4,=,c,2，,（,c,1,，,c,2,为任意常数），得,例,4 求,解线性方程组,解,:将增广矩阵初等行变换：,得,故方程组无解。,例,5 当,a,为何值时，下列,解线性方程组,有唯一解?无解？无穷多解？,解,:将增广矩阵初等行变换：,总结：,当有效方程个数=未知量个数时，有唯一解；,当有效方程个数 未知量个数时，有无穷个解；,当出现类似方程 0=1时，无解,有唯一解,有无穷个解,无解,注：此变换是错的,