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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章 测量误差及数据处理,1.,测量误差的基本概念,2.,测量误差的分类和测量结果的表征,3.,测量误差的估计和处理,4.,测量数据处理,10/5/2024,1,2.1,测量误差的基本概念,1,测量误差的定义,测量的目的,:,获得被测量的真值。,真值,:,在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。,测量误差,:,所有测量结果都带有误差 。,10/5/2024,2,2.,测量误差的来源,（,1,）仪器误差：,由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。,（,2,）影响误差：,由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。,（,3,）理论误差和方法误差：,由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。,（,4,）人身误差：,由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。,（,5,）测量对象变化误差：,测量过程中由于测量对象变化而使得测量值不准确，如引起动态误差等。,10/5/2024,3,3.,测量误差的表示方法,测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。,1.,绝对误差,（,1,）定义,：,由测量所得到的被测量值与其真值之差，称为绝对误差,实际应用中常用实际值,A,（,高一级以上的测量仪器或计量器具测量所得之值）来代替真值。,绝对误差：,有大小，又有符号和量纲,10/5/2024,4,（,2,）修正值,与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值,测量仪器的修正值可以通过上一级标准的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。,被测量的实际值,10/5/2024,5,2.,相对误差,一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量本身的大小有关。,例：测量足球场的长度和济南市中心到长清校区的距离，若绝对误差分别为,1,米和,10,米，测量的准确程度是否相同？,（,1,）相对真误差、实际相对误差、示值相对误差,相对误差：绝对误差与被测量的真值之比,相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。,10/5/2024,6,实际相对误差： 用实际值,A,代替真值,A,0,示值相对误差： 用测量值,X,代替实际值,A,10/5/2024,7,（,2,）满度相对误差（引用相对误差）,用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值（上限值下限值）之比来表示的相对误差，称为满度相对误差（或称引用相对误差）,仪表各量程内绝对误差的,最大值,10/5/2024,8,电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工作条件下不应超过的最大引用相对误差,我国电工仪表共分七级：,0.1,，,0.2,，,0.5,，,1.0,，,1.5,，,2.5,及,5.0,。如果仪表为,S,级，则说明该仪表的最大引用误差不超过,S%,测量点的最大相对误差,在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值，指针最好能偏转在,不小于满度值,2/3,以上的区域。,10/5/2024,9,例,1-3,某待测电流约为,100mA,，,现有,0.5,级量程为,0,400mA,和,1.5,级量程为,0,100mA,的两个电流表，问用哪一个电流表测量较好？,用,1.5,级量程为,0,100mA,电流表测量,100mA,时的最大相对误差为,解：用,0.5,级量程为,0,400mA,电流表测,100mA,时，最大相对误差为,10/5/2024,10,2.2,测量误差的分类和测量结果的表征,一、 测量误差的分类,根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误差、系统误差、粗大误差三类。,1.,随机误差,定义,:,在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。,随机误差主要由对,测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成,。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的,无规律变化,等。,10/5/2024,11,例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到,1.235V,，,1.237V,，,1.234V,，,1.236V,，,1.235V,，,1.237V,。,单次测量的随差没有规律，,但多次测量的总体却服从统计规律。,可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值,随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差,10/5/2024,12,2.,系统误差,定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，,测量误差的绝对值和符号都保持不变,，或,在测量条件改变时按一定规律变化,的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。,产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。,系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测量就越准确。,系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即,10/5/2024,13,3.,粗大误差：,粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因有：,测量操作疏忽和失误,如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。,测量方法不当或错误,如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压,测量环境条件的突然变化,如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。,含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。,10/5/2024,14,4.,系差和随差的表达式,在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差,各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和,。,在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。,系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化,10/5/2024,15,二、测量结果的表征,1.,准确度,表示系统误差的大小,。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。,2.,精密度,表示随机误差的影响,。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。,3.,精确度,用来反映系统误差和随机误差的综合影响,。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。,射击误差示意图,10/5/2024,16,测量值,是粗大误差,10/5/2024,17,2.3,测量误差的估计和处理,一、 随机误差的统计特性及减少方法,在测量中，,随机误差是不可避免的,。,随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。,多次测量，测量值和随机误差,服从概率统计规律,。,可用,数理统计,的方法，处理测量数据，从而,减少随机误差,对测量结果的影响,。,10/5/2024,18,（,1,）随机变量的数字特征,数学期望,:,反映其平均特性,。其定义如下：,X,为,离散,型随机变量：,X,为,连续,型随机变量：,1.,随机误差的分布规律,10/5/2024,19, 方差和标准偏差,方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。,设随机变量,X,的数学期望为,E(X),，则,X,的方差定义为：,D(X)= E(X,E(X),2,标准偏差,定义为：,标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。,10/5/2024,20,测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。,中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。,为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布？,(2),测量误差的正态分布,10/5/2024,21,正态分布的概率密度函数和统计特性,随机误差的概率密度函数为：,测量数据,X,的概率密度函数为：,随机误差的数学期望和方差为：,同样测量数据的数学期望,E(X), ，,方差,D(X),10/5/2024,22,正态分布时概率密度曲线,随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同，只是横坐标相差,随机误差具有：对称性 ,单峰性 ,有界性 抵偿性,10/5/2024,23,标准偏差意义,标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。,标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。,10/5/2024,24,（,3,）测量误差的非正态分布,常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。,均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差等；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。,概率密度,:,均值,:,当 时,标准偏差,:,当,时，,10/5/2024,25,2.,有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值,求被测量的数字特征，理论上需,无穷多次,测量，但在实际测量中只能进行,有限次,测量，怎么办？,用事件发生的频度代替事件发生的概率，当,则,令,n,个可相同的测试数据,x,i,(i=1.2,n),次数都计为,1 ,当 时，则,（,1,）有限次测量的数学期望的估计值,算术平均值,被测量,X,的数学期望，就是当测量次数 时，各次测量值的算术平均值,10/5/2024,26,规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即：,算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。,有限次测量值的算术平均值比测量值更接近真值？,10/5/2024,27,（,2,）算术平均值的标准偏差,故：,算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性 。,*,10/5/2024,28,算术平均值,：,（,2,）有限次测量数据的标准偏差的估计值,残差：,实验标准偏差,（,标准偏差的估计值），贝塞尔公式：,算术平均值标准偏差的估计值,：,10/5/2024,29,【,例,3.1,】,用温度计重复测量某个不变的温度，得,11,个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。,解：平均值,用公式,计算各测量值残差列于上表中,实验偏差, 标准偏差,10/5/2024,30,3.,测量结果的置信问题,（,1,）置信概率与置信区间：,置信区间 内包含真值的概率称为置信概率。,置信限：,k,置信系数（或置信因子）,置信概率是图中阴影部分面积,10/5/2024,31,（,2,）正态分布的置信概率,当分布和,k,值确定之后，则置信概率可定,正态分布,当,k=3,时,置信因子,k,置信概率,Pc,1,0.683,2,0.955,3,0.997,区间越宽，,置信概率越大,10/5/2024,32,（,3,）,t,分布的置信限,t,分布与测量次数有关。当,n20,以后，,t,分布趋于正态分布。正态分布是,t,分布的极限分布。,当,n,很小时，,t,分布的中心值比较小，分散度较大，即对于相同的概率，,t,分布比正态分布有更大的置信区间。,给定置信概率和测量次数,n,，,查表得置信因子,kt,。,自由度：,v=n-1,10/5/2024,33,10/5/2024,34,（,4,）非正态分布的置信因子,由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为误差极限 ，即误差的置信区间为,置信概率为,100,。,（P=1),反正弦,均匀,三角,分布,例：均匀分布,有 故,:,10/5/2024,35,10/5/2024,36,二、 系统误差的判断及消除方法,1.,系统误差的特征：,在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。,多次测量求平均不能减少系差,。,10/5/2024,37,2.,系统误差的发现方法,（,1,）不变的系统误差,：,校,准、修正和实验比对。,（,2,）变化的系统误差,残差观察法，适用于系统误差比随机误差大的情况,将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。,存在线性变化的系统误差,无明显系统误差,10/5/2024,38,马利科夫判据：,若有累进性系统误差，,D,值应明显异于零。,当,n,为偶数时，,当,n,为奇数时，,阿贝赫梅特判据：检验周期性系差的存在。,10/5/2024,39,3.,系统误差的削弱或消除方法,（,1,）从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差,要从测量原理和测量方法尽力做到正确、严格。,测量仪器定期检定和校准，正确使用仪器。, 注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大。, 尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差。应提高测量人员业务技术水平和工作责任心，改进设备。,（,2,）用修正方法减少系统误差,修正值误差,=,（测量值真值）,实际值测量值修正值,10/5/2024,40,（,3,）采用一些专门的测量方法,替代法, 交换法, 对称测量法, 减小周期性系统误差的半周期法,系统误差可忽略不计的准则,是：,系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。,10/5/2024,41,三、粗大误差及其判断准则,大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值,剔除,。,1.,粗大误差产生原因以及防止与消除的方法,粗大误差的产生原因,测量人员的主观原因,：操作失误或错误记录；,客观外界条件的原因,：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。,防止和消除粗大误差的方法,重要的是采取各种措施，,防止产生粗大误差,。,10/5/2024,42,2.,粗大误差的判别准则,统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。,莱特检验法,格拉布斯检验法,式中，,G,值按重复测量次数,n,及置信概率,Pc,确定,10/5/2024,43,应注意的问题,所有的检验法都是人为主观拟定的，至今,无统一的规定,。当偏离正态分布和测量次数少时检验不一定可靠。,若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应,逐个剔除,，重新计算，再行判别。若有两个相同数据超出范围时，应逐个剔除。,在一组测量数据中，,可疑数据应很少,。反之，说明系统工作不正常。,10/5/2024,44,解：,计算得,s=0.033,计算,残差填入表,3,7,， 最大， 是可疑数据。,用莱特检验法,3,s=3,0.033=0.099,故可判断 是粗大误差，应予剔除。,再对剔除后的数据计算得：,s,= 0.016 3,s,= 0.048,各测量值的残差,V,填入表,3,7,，残差均小于,3 s,故,14,个数据都为正常数据。,【,例,3.3】,对某电炉的温度进行多次重复测量，所得结果列于表,3,7,，试检查测量数据中有无粗大误差。,10/5/2024,45,四、 测量结果的处理步骤,对测量值进行系统误差修正，将数据依次列成表格；,求出算术平均值,列出残差 ，并验证,按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值,按莱特准则 ，或格拉布斯准则 检查和剔除粗大误差；,判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量；,计算算术平均值的标准偏差 ；,写出最后结果的表达式，即,（,单位）,。,10/5/2024,46,【,例,3,4】,对某电压进行了,16,次等精度测量，测量数据中已记入修正值，列于表中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。,10/5/2024,47,10/5/2024,48,10/5/2024,49,等精度测量与不等精度测量,等精度测量,：即在相同地点、相同的测量方法和相同测量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、干扰等），并在,短时间内进行的重复测量,。,不等精度测量,：在,测量条件不相同,时进行的测量，测量结果的精密度将不相同。,不等精度测量处理方法：,权值与标准偏差的平方成反比 。权值,测量结果为加权平均值,10/5/2024,50,10/5/2024,51,五、 误差的合成分析,问题：用间接法测量电阻消耗的功率时，需测量电阻,R,、,端电压,V,和电流,I,三个量中的两个量，如何根据电阻、电压或电流的误差来推算功率的误差呢？,10/5/2024,52,10/5/2024,53,在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即将式中各分项取绝对值后再相加,该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的相应措施。,10/5/2024,54,2.4,测量数据处理,一、 有效数字的处理,1.,数字修约规则,由于测量数据和测量结果均是近似数，其位数各不相同。为了使测量结果的表示准确唯一，计算简便，在数据处理时，需对测量数据和所用常数进行修约处理。,数据修约规则：,（,1,）,小于,5,舍去,末位不变。,（,2,）,大于,5,进,1,在末位增,1,。,（,3,）,等于,5,时，取偶数,当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增,1,（将末位凑为偶数）。,10/5/2024,55,例：将下列数据舍入到小数第二位。,12.43,44,12.43 63.73,501,63.74,0.69,499,0.69 25.3,2,50,25.32,17.69,55,17.70 123.1,1,50,123.12,需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。,上例中,0.69499,，正确结果为,0.69,，错误做法是：,0.694990.69500.6950.70,。,在“等于,5”,的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。,10/5/2024,56,2.,有效数字,若截取得到的近似数其,截取或舍入误差的绝对值不超过近似数末位的半个单位,，则该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。,例如：,3.142,四位有效数字，极限误差,0.0005,8.700,四位有效数字，极限误差,0.0005,8.710,3,二位有效数字，极限误差,0.0510,3,0.0807,三位有效数字，极限误差,0.005,10/5/2024,57,中间的,0,和末尾的,0,都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。,测量数据的绝对值比较大（或比较小），而有效数字又比较少的测量数据，应采用,科学计数法,，即,a10,n,，,a,的位数由有效数字的位数所决定。,测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定，即,测量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。,例如，某物理量的测量结果的值为,63.44,，且该量的测量不确定度,u,0.4,，,测量结果表示为,63.40.4,。,10/5/2024,58,3.,近似运算法则,保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项。,（,1,）加法运算,以小数点后位数最少的为准（各项无小数点则以有效位数最少者为准），其余各数可多取一位。例如：,（,2,）减法运算,：当两数相差甚远时，原则同加法运算；当两数很接近时，有可能造成很大的相对误差，因此，第一要尽量避免导致相近两数相减的测量方法，第二在运算中多一些有效数字。,10/5/2024,59,（,3,）乘除法运算,以有效数字位数最少的数为准，其余参与运算的数字及结果中的有效数字位数与之相等。例如：,也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字。,例如上面例子中的,517.43,和,4.08,各保留至,517,和,4.08,，结果为,35.5,。,（,4,）乘方、开方运算：,运算结果比原数多保留一位有效数字。例如：,（,27.8,）,2,772.8(115),2,1.32210,4,10/5/2024,60,二、测量数据的表示方法,1.,列表法,根据测试的目的和内容，设计出合理的表格。列表法简单、方便，数据易于参考比较，它对数据变化的趋势不如图解法明了和直观，但列表法是图示法和经验公式法的基础。,例：,x,0,2,4,6,8,10,12,y,1.5,12.1,19.1,31.3,42.1,48.6,59.1,10/5/2024,61,2 .,图示法,图示法的最大优点是形象、直观，从图形中可以很直观地看出函数的变化规律，如递增或递减、最大值和最小值及是否有周期性变化规律等。,作图时采用直角坐标或极座标。一般是先按成对数据（,x,，,y,）,描点，再连成光滑曲线，并尽量使曲线于所有点接近，不强求通过各点，要使位于曲线两边的点数尽量相等,10/5/2024,62,3.,经验公式法,经验公式法就是通过对实验数据的计算，采用数理统计的方法，确定它们之间的数量关系，即,用数学表达式表示各变量之间关系,。有时又把这种经验公式称为数学模型。,类型,有些一元非线性回归可采用变量代换，将其转化为线性回归方程来解。,一元线形回归,一元非线性回归,多元线性回归,多元非线性回归,变量个数,1,1,1,1,方次,1,1,1,1,10/5/2024,63,三、,建立经验公式的步骤,已知测量数据列,(,x,i,y,i,i,=1,2,n),建立公式的步骤如下：,（,1),将输入自变量,x,i,作为横坐标，输出量,y,i,即,测量值作为纵坐标，描绘在坐标纸上，并,把数据点描绘成测量曲线,。,（,2,）分析描绘的曲线，,确定公式,y=f(x),的基本形式,。,直线，可用一元线性回归方法确定直线方程。,某种类型曲线，则先将该曲线方程变换为直线方程，然后按一元线性回归方法处理。,如果测量曲线很难判断属于何种类型，这可以按曲线多项式回归处理。即：,（,3,）由测量数据,确定拟合方程（公式）中的常量,。,10/5/2024,64,( 4 ),检验所确定的方程的准确性,。,用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值,y,计算拟合残差,计算拟合曲线的标准偏差,式中：,m,为拟合曲线未知数个数，,n,为测量数据列长度。,如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，应建立另外形式公式重做。,10/5/2024,65,四、 一元线性回归,用一个直线方程,y=,a+bx,来表达测量数据,(,x,i,y,i,i,=1,2,n),之间的相互关系，即求出,a,和,b,，,此过程就是一元线性回归。,1.,端点法,此方法是将测量数据中两个端点，起点和终点（即最大量程点）的测量值（,x,1,y,1,）,和（,x,n,y,n,），,代入,y=,a+bx,，则,a,b,分别为,10/5/2024,66,2.,平均选点法,此方法是将全部,n,个测量值,(,x,i,y,i,i,=1,2,n),分成数目大致相同的两组，前半部,k,个测量点为一组，其余的,n-k,个测量点为另一组，两组测量点都有自己的“,点系中心,”，其坐标分别为,通过两个“点系中心” 的直线即是拟合直线,y=,a+bx,，,其中,a,，,b,分别为：,10/5/2024,67,3.,最小二乘法,最小二乘法的基本原理是在,残差平方和为最小,的条件下求出最佳直线。,测量数据中的任何一个数据,yi,与拟合直线上,y=,a+bx,对应的理想值,yi,之,残差,(,i,=1,2,n,为测量点数）,即,求,a,和,b,的偏导数，并令它们为零，即可解得,a,和,b,的值。,10/5/2024,68,【,例,3.10】,对量程为,10Mpa,的压力传感器，用活塞式压力计进行测试，输出由数字电压表读数，所得各测量点的输出值列于下表中。试用端点法、平均选点法和最小二乘法,拟合线性方程,，并计算各种拟合方程的,拟合精度,。,压力（,MPa,）,2,4,6,8,10,输出（,mV,）,10.043,20.093,30.135,40.128,50.072,10/5/2024,69,压力,MPa,输出,mV,端点法,平均选点法,最小二乘法,理想直线,残差,理想直线,残差,理想直线,残差,2,10,.,043,10.,044,0,.,001,10,.,95,0,.,052,10,.,080,0,.,0337,4,20,.,093,20,.,052,0,.,041,20,.,097,0,.,004,20,.,090,0,.,003,6,30,.,135,30,.,060,0,.,093,30,.,099,0,.,054,30,.,100,0,.,053,8,40,.,128,40,.,068,0,.,060,40,.,101,0,.,027,40,.,110,0,.,018,10,50,.,072,50,.,068,0,.,004,50,.,103,0,.,031,50,.,120,0,.,048,拟合直线方程,拟合误差,0,.,068,0,.,049,0,.,048,最小二乘法精确度最高，平均选点次之，端点法较差,10/5/2024,70,第,2,章 总 结,1,随机误差,随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，无法避免和控制，不能消除随机误差。但应采用数理统计的方法，减少随机误差。, 算术平均值, 残差, 实验标准偏差,（贝塞尔公式）, 算术平均值标准偏差的估计值, 根据概率分布和置信概率确定置信因子，得到测量结果的置信区间。正态分布或,n20,时，,k,=2,3,；,n20,时，查,t,分布表得,k,；,均匀分布时,k,。,测量结果为：,10/5/2024,71,2,系统误差,系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变化，主要由测量仪器、测量方法、测量环境和测量人员等因素引起。多次测量不能减少系统误差。,系统误差的发现方法有：校准的方法、残差观察法、马利科夫判据和阿贝赫梅特判据。,系统误差的削弱或消除方法：（,1,）从产生系统误差根源上采取措施；（,2,）修正方法；（,3,）采用专门的测量方法，如替代法、交换法、对称测量法、半周期法。,10/5/2024,72,3, 粗大误差,粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条件的改变、干扰和偶然失效等造成，应采取各种措施，防止产生粗大误差。对测量中的可疑数据可采用莱特检验法或拉布斯检验法判断是否是粗大误差，若是，应剔除不用。,4, 测量结果的处理,应区别对待等精度测量和不等精度测量，不等精度测量的测量结果用加权平均值表示，标准偏差越小，权值越大。,对测量数据进行处理时，应首先检查和修正系统误差，判别并剔除粗大误差。,10/5/2024,73,5,有效数字处理和测量数据的表示方法,（,1,）数据修约规则：“四舍五入，等于五取偶数”；,（,2,）有效数字与数据的准确度密切相关，测量结果（或读数）的有效位数应由该测量的不确定度来确定；,(3),把测量数据处理成一定的函数关系，通常采用方法有列表法、图示法和经验公式,10/5/2024,74,6,建立公式的步骤和一元线性回归,（,1,）建立公式的步骤是：,列表画曲线,分析曲线，确定曲线的基本形式，,由测量数据确定拟合方程中的系数,求拟合残差和拟合曲线的标准偏差，并进行验证。,(2,）一元线性回归（直线拟合）是用一个直线方程,来表示测量数据之间的相互关系，即求出方程中的两个系数,a,和,b,。,回归方法通常有端点法、平均选点法和最小二乘法。,10/5/2024,75,
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