方程的根与函数的零点-课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/10/5,1,方程的根与函数的零点,2024/10/5,2,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,2024/10/5,3,2024/10/5,4,函数的图像,与,x,轴交点,方程,函数,函,数,的,图像,方程的实数根,x,1,=,1,x,2,=3,x,1,=,x,2,=1,无实数根,(,1,0),、,(,3,0),(,1,0),无交点,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,4,3,.,.,.,.,.,y,x,0,1,2,1,1,2,x,2,2x+1=0,x,2,2x+3=0,y=x,2,2x,3,y=x,2,2x+1,x,2,2x,3=0,y=x,2,2x+3,2024/10/5,5,2024/10/5,6,判别式,=b,2,-4ac,0,0,0,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图像,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,的根,二次函数,y=ax,2,+bx+c,的图像与,x,轴的交点,有两个不等的,实数根,x,1,，,x,2,有两个相等实数根,x,1,=x,2,没有实数根,x,y,x,1,x,2,x,y,x,1,=x,2,x,y,一般地,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0,）的根与二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0,）的图像有如下关系：,(x,1,0),，,(x,2,0),(x,1,0),没有交点,2024/10/5,7,方程的实数根就是对应函数图像与,x,轴交点的横坐标。,结论,2024/10/5,8,1,、函数零点的定义,对于函数 ，我们把使 的,实数,x,叫做函数 的,零点,。,方程,f(x)=0,有实数根,函数,y=f(x),的图像与,x,轴有交点,函数,y=f(x),有零点,2,、结论,零点是一个点吗,?,注意：,零点,指的是一个,实数,求函数零点的步骤：,法一：,(1),令,f(x)=0;,(2),解方程,f(x)=0,；,(3),写出零点,法二：可利用 的图像找出零点。,例,1,：求下列函数的零点。,例：函数,2024/10/5,10,x,y,0,知识探究：,函数零点存在性原理,2024/10/5,11,a,b,a,b,问题,6,：如果将定义域改为区间,a,b,观察图像,说一说零点个数的情况，有什么发现？,a,b,x,y,0,结论,2024/10/5,12,a,b,x,y,0,函数 的图像在闭区间,a,b,上连续不断。,结论,2024/10/5,13,问题,8,：满足上述两个条件，能否确定零点,个数呢？,0,y,x,x,y,0,有零点，至少有一个，但不确定个数，即存在零点。,结论,2024/10/5,14,结论,零点的存在性定理,在 有,零点,在,上连续,思考：定理开始时在闭区间,a,b,上连续，结果推出在开区间（,a,b,）上存在零点，你是如何理解的？,问题九,.,已知,函数,的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：,那么函数,在区间,上的零点至少有,_,个。,X,1,2,3,4,5,6,7,f(x),23,9,-7,11,-5,-12,-26,3,由上表可知,f(2)0,，,即,f(2)f(3)0,，,说明这个函数在区间,(2,3),内有零点。,又因为函数,f(x),在定义域,(0,+),内是增函数，所以它仅有一个零点。,解：分别列出部分,x,、,f(x),的对应值表如下：,例,3,求函数,f(x)=lnx+2x,6,的零点个数。,x,1,2,3,4,5,2024/10/5,17,问题,10,：为什么上个问题中只有一个零点呢？,说一说理由？,问题,11,：当,内有零点，一定有,2024/10/5,18,目 录,一、,教材、学情分析,二、,教学目标、重难点分析,三、,教法、学法分析,四、,教学流程,2024/10/5,19,一、教材结构与内容简析,函数与方程思想是中学数学的重要思想。,本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用,函数的图象和性质,来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础,因此本节内容具有承前启后的作用，非常重要,2024/10/5,20,二、学情分析,在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。,但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。,因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系及零点存在定理有较为全面的认识。,2024/10/5,21,二、教学目标,（一）认知目标：,1,理解函数的零点与方程的根的联系,.,2,理解并会用零点存在定理判断函数的零点,（二）能力目标：,体会数形结合,思想,转化思想,以及函数与方程思想,的意义和价值，,培养学生自主发现、探究实践的能力,（三）情感目标：,培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的,良好,学习习惯。,2024/10/5,22,三、教学重点、难点,教学重点：,理解函数的零点与方程的根,之间的联系，掌握零点存在,的判定条件,教学难点：,探究发现函数零点的存在性,.,2024/10/5,23,四、教法分析,教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力。,采用,“,提出问题,引导探究,得出结论,实际应用,”,的教与学模式,.,2024/10/5,24,五、教学过程,提出问题，激发学生思考,函数零点概念,零点存在定理,巩固及应用,总结提升,课后作业,巩固及应用,2024/10/5,25,一些复杂的方程无法求解，造成学生的认知冲突,引发学生的好奇心和求知欲。此时开门见山的提出用,函数的思想,解决,方程根,的问题,点明本节课的课题。,（一）设问激疑，引出课题,设计意图,五、教学过程,求方程,3x,2,6,x+,1=0,的实数根,变式：求下列方程的实数根,3,x,3,6,x,+1=0,问题,1,：,lnx+2x-6=0,2024/10/5,26,（二）启发引导，逐步深入,五、教学过程,设计意图,以问题激发学生思考，将大问题分解为几个小问题，自然地得到函数和方程的初步认识。,让学生体会到如何分析问题。,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),与二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),有什么联系？,问题,2,：,子问题：,形式上有什么相同点？,有什么不同点？,怎样可以由函数得到方程？,2024/10/5,27,（三）数形结合，巩固认识,五、教学过程,设计意图,以实例说明方程、函数、函数图象三者的关系,渗透,数形结合,的思想。,为引入函数零点的概念打下基础。,方程的根,函数值,y=0,时的,x,的值,函数图象与,x,轴交点的横坐标,x,1,=,1,x,2,=3,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,(,1,0),(,3,0),板书,2024/10/5,28,五、教学过程,设计意图,从具体到一般，从简单到复杂,培养学生的思维能力和归纳能力,（三）数形结合，巩固认识,2024/10/5,29,五、教学过程,设计意图,自然地得出函数零点的概念。,（四）顺水推舟，得出概念,方程,f(x)=0,的实数根,函数,y=f(x),的图象与,x,轴交点的横坐标,函数,y=f(x),的,零点,函数值等于,零,时的,x,的值,2024/10/5,30,五、教学过程,设计意图,自然地得出等价关系。,（四）顺水推舟，得出概念,方程,f(x)=0,有实数根,函数,y=f(x),的图象与,x,轴有交点,函数,y=f(x),有零点,2024/10/5,31,1.,会判断函数是否有零点；,2.,会用解方程的方法求简单的函数零点,;,3.,体会方程与函数的联系；,4.,明确函数的零点是一个实数。,（五）概念辨析，巩固新知,设计意图,五、教学过程,判断下列函数是否有零点，若有，请求出,2024/10/5,32,设计意图,五、教学过程,（六）提出问题，探索零点存在定理,问,3,：,函数,y=lnx+2x-6,的零点存在吗？,若存在，大致在什么区间？,用什么判断？,用图象！,激发思考,2024/10/5,33,设计意图,五、教学过程,将函数的零点转化到图象上来，使抽象的问题直观化，更利于学生理解定理的本质,.,探索定理的过程中，通过正看、逆看、换条件看，培养学生缜密思考的良好习惯。,a,b,x,a,b,x,如果函数,在区间,上的图象是连续不断的一条曲线，,1.,一定有？有几个？一定没有？,2.,如果图象不是连续不断的,能否一定有,?,让学生动手画,3.,怎样用数学符号表示零点存在的条件？,（六）探索零点存在定理,2024/10/5,34,设计意图,五、教学过程,定理的发现过程体现了,数形结合,的思想和,转化,的思想。,如果函数,在区间,上的图象是连续不断的一条曲线，,函数零点 函数图象,端点处函数值符号,（六）零点存在定理,2024/10/5,35,设计意图,五、教学过程,（七）定理应用,通过反馈练习,使学生会直接应用定理找出函数零点,巩固练习：,已知函数,f(x),的图象,是连续不断的，有如下的,x,f(x),对应值表：,x,1,2,3,4,5,6,f(x),2,3.2,-7,11,-2,-1,函数在区间,1,6,上的零点,至少有,个,2024/10/5,36,设计意图,五、教学过程,（七）,定理应用,通过反馈练习,使学生初步运用定理找出函数零点所在区间,练习,1,、函数,f(x)=x,3,+x-1,在下列,哪个区间有零点（）,A.(-2,，,-1)B.(0,，,1),C.(1,，,2)D.(2,，,3),练习,2,、求证：方程,5x,2,-7x-1=0,的一个根在区间,(-1,0),内，,另一个根在区间,(1,2),内。,2024/10/5,37,引导学生用定理解决问题，然后利用函数单调性判断零点的个数，并借助函数图象对整个解题思路有一个直观的认识,.,设计意图,五、教学过程,（七）定理应用,例,1.,求函数,f(x)=lnx+2x,6,的,零点个数。,思路：,用定理判断存在,手算用,1,，,e,等特殊值计算,可介绍用两个图像的交点,来判断函数的零点,用单调性判断零点个数,2024/10/5,38,用零点存在定理解决问题，同时反映教学效果，便于查漏补缺,.,（八）巩固知识，尝试练习,设计意图,五、教学过程,2,、函数 的零点,所在的大致区间是（）,A,、,(1,2)B,、,(2,3),C,、,(3,4)D,、,(e,+),2024/10/5,39,1,你能说说函数的零点与方程的根的联系吗？,2,如果函数图象在区间,a,b,上是连续不断的，那么在什么条件下，函数在,(a,b),内有零点？,优化学生的认知结构，把课堂所学内容内化为学生的自己的知识和能力,.,（九）总结提升,设计意图,五、教学过程,问题,4,：,内容小结：,1,函数零点的定义,2,等价关系,3,零点存在定理,方程,f(x)=0,的实数根,函数,y=f(x),的图象与,x,轴交点的横坐标,函数,y=f(x),的,零点,2024/10/5,40,（十）课后作业,设计意图,五、教学过程,巩固学生所学的新知识，将学生的思维向外延伸，激发学生的发散思维,2024/10/5,41,板书设计,a,b,a,b,2024/10/5,42,对新知识的理解需要一个不断深化完善的过程，通过练习，进行数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，,（八）巩固知识，尝试练习,设计意图,五、教学过程,2,、函数 的零点,所在的大致区间是（）,A,、,(1,2)B,、,(2,3),C,、,(3,4)D,、,(e,+),2024/10/5,43,2024/10/5,4