1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.6,棱柱、棱锥、棱台和球的表面积,一直棱柱的表面积,直棱柱的展开图,c,h,直棱柱侧面展开图有什么特点？,2.,直棱柱的,表面积,就等于,侧面积与上、下底面面积的和,.,1,直棱柱的侧面积等于它的底面周长,c,和高,h,的乘积，即,S,直棱柱侧,=,c,h,.,正棱锥的展开图,c,h,h,正棱锥侧面展开图有什么特点？,二,.,正棱锥的表面积,正棱锥的侧面积等于它的,底面周长,和,斜高,乘积的一半，即,S,正棱锥侧,=,na,h,.,或,S,正棱锥侧,=,c,h,.,其中,a,为底面正多边形,的边长，底面周长为,c,，斜高为,h,。,2,正棱锥的,表面积,=,侧面积,+,底面积,正棱台的侧面展开图：,正棱台侧面展开图有什么特点？,正棱台侧面展开图的侧棱的延长线交于一点。,正棱台的侧面展开图都是全等的等腰梯形，,因此它们的面积都相等。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,三,.,正棱台的表面积,如果设正棱台底边长,为,a,，,下底边,长为,a,，斜高,为,h,，,则其中的一个侧面的,面积为,：,已知正棱台的上底周长,为,c,，,下底周长为,c,，,则正棱台的侧面积：,如果设此棱台的底面为正n多边形，那么它的侧面积为,：,h,a,a,1,正棱台的侧面积是,S,=(,c,+,c,),h,，其中上底面的周长为,c,，下底面的周长为,c,，斜高为,h,.,2,正棱台的表面积,=,侧面积,+,底面积,正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积的关系：,c=c,c=0,四,.,圆柱、圆锥、圆台的侧面积,（,1,）将圆柱,沿一条母线剪开,后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为,r,，母线长为,l,，则侧面积,S,圆柱侧,=2,rl,.,O,O,S,圆锥侧,=2,r,l,=,rl,，其中,l,为圆锥母线长，,r,为底面圆半径。,S,圆台侧,=,(,r,+,R,),l,=(,c,1,+,c,2,),l,，其中,r,，,R,分别为上、下底面圆半径，,c,1,，,c,2,分别为上、下底面圆周长，,l,为圆台的母线。,圆柱、圆锥和圆台的侧面积的关系：,五,.,球的表面积,球面面积（也就是球的,表面积,）等于它的,大圆面积的,4,倍,，,即,S,球,=4,R,2,，其中,R,为球的半径,.,例,1.,直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为,Q,1,，,Q,2,，求该直平行六面体的侧面积。,例,2.,已知正四棱锥底面正方形长为,4cm,，高与斜高的夹角为,30,，求正四棱锥的侧面积及全面积,.,解：正棱锥的高,PO,，斜高,PE,，底面边心距,OE,组成直角三角形。,因为,OE,=2,，,OPE,=30,，,所以斜高,因此,S,侧,=,ch,=32(cm,2,),S,全,=,S,侧,+,S,底,=48(cm,2,),例,3.,正四棱台的两底面边长分别为,a,和,b(a,b),若棱台的侧面积等于两底面积之和，求它的高。,例,4.,如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的半径为,R,，正四棱台的两底面边长分别为,3R,和,2.5R,，斜高为,0.6R,；,(1),求这个容器盖子的表面积,(,用,R,表示，焊接处对面积的影响忽略不计,),；,(2),若,R=2cm,，为盖子涂色时所用的涂料每,0.4kg,可以涂,1m,2,，计算,100,个这样的盖子涂色需涂料多少千克,(,精确到,0.1kg),。,S,正四棱台,=4 (2.5R+3R)0.6R,+(2.5R),2,+(3R),2,=21.85R,2,.,S,球,=4R,2,.,因此，这个盖子的全面积为,S,全,=(21.85+4)R,2,.,解：（,1,）因为,（,2,）取,R=2,，,=3.14,，得,S,全,=137.67cm,2,.,又,(137.67100)100000.40.6(kg),，,因此涂,100,个这样的盖子共需涂料,0.6kg.,例,5.,在球心同侧有相距,9cm,的两个平行截面，它们的面积分别为,49cm,2,和,400 cm,2,求球的表面积,.,解：由截面圆的面积分别是,49cm,2,和,400 cm,2,解得,AO,1,=20cm,，,BO,2,=7cm.,设,OO,1,=,x,则,OO,2,=,x,+9.,所以,R,2,=,x,2,+20,2,=(,x,+9),2,+7,2,.,解得,x,=15(cm).,所以圆的半径,R=25(cm).,所以,S,球,=4,R,2,=2500,(cm,2,),练习题：,1.,将一个边长为,a,的正方体，切成,27,个全等的小正方体，则表面积增加了（,）,（,A,）,6,a,2,（,B,）,12,a,2,（,C,）,18,a,2,（,D,）,24,a,2,B,2.,在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（,）,（,A,）（,B,）,（,C,）（,D,）,B,3.,侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为,a,，该三棱锥的全面积是（,）,（,A,）（,B,）,（,C,）（,D,）,A,4.,球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（,）,（,A,）,2,：,（,B,）,3,：,（,C,）,4,：,（,D,）,6,：,A,5.,已知正六棱台的上、下底面边长分别是,2,和,4,，高是,2,，则这个棱台的侧面积等于,。,