指数函数幂函数对数函数增长的比较课件北师大版必修

指数函数幂函数对数函数增长的比较精品课件北师大版必修,学习导航,学习目标,重点难点,重点：指数函数、对数函数、幂函数、直线增长的含义,难点：三种增长函数模型的应用,新知初探,思维启动,三种函数的增长趋势,当,a,1,时，指数函数,y,a,x,是_，并且当,a,越_时，,其函数值的增长就越快,当,a,1,时，对数函数,y,log,a,x,是_，并且当,a,越_时，其函数值的增长就越快,增函数,大,增函数,小,当,x,0,，,n,1,时，幂函数,y,x,n,显然也是,_，并且当,n,越_时，其函数值的增长就越快,由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为,“,指数爆炸,”,增函数,大,想一想,由于指数函数值增长非常快，所以对于,x,R,都是,2,x,x,2,，对吗？,提示：,不对,y,2,x,与,y,x,2,的图像有交叉现象，只有当,x,4,时，才有,2,x,x,2,成立,做一做,1.,当,a,1,时，下列结论：,指数函数,y,a,x,，当,a,越大时，其函数值的增长越快；,指数函数,y,a,x,，当,a,越小时，其函数值的增长越快；,对数函数,y,log,a,x,，当,a,越大时，其函数值的增长越快；,对数函数,y,log,a,x,，当,a,越小时，其函数值的增长越快,其中正确的结论是,(,),A,B,C,D,答案：,B,2,当,x,越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是,(,),A,y,2,x,B,y,x,10,C,y,lg,x,D,y,10,x,2,答案：,A,典题例证,技法归纳,题型一指数函数、幂函数、对数函数增长的比较,四个变量,y,1,，,y,2,，,y,3,，,y,4,随变量,x,变化的数据如下表：,题型探究,例1,x,0,5,10,15,20,25,30,y,1,5,130,505,1130,2005,3130,4505,y,2,5,94.478,1785.2,33733,6.37,10,5,1.2,10,7,2.28,10,8,y,3,5,30,55,80,105,130,155,y,4,5,2.3107,1.4295,1.1407,1.0461,1.0151,1.005,关于,x,呈指数型函数变化的变量是,_,【解析】指数型函数呈,“,爆炸式,”,增长,从表格中可以看出，四个变量,y,1,，,y,2,，,y,3,，,y,4,均是从,5,开始变化，变量,y,4,的值越来越小，但是减小的速度很慢，故变量,y,4,关于,x,不呈指数型函数变化；,而变量,y,1,，,y,2,，,y,3,的值都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量,y,2,的增长速度最快,画出它们的图像,(,图略,),，可知变量,y,2,关于,x,呈指数型函数变化，故填,y,2,.,【答案】,y,2,【点师点睛】,三种递增函数中，当自变量充分大时，指数函数的函数值最大，但必须是自变量的值达到一定程度因此判断一个增函数是否为指数型函数时，要比较自变量增加到一定程度时，自变量增加相同的量，函数值的增长量是否为最大，若是，则这个函数就可能是指数型函数,变式训练,1三个变量,y,1,，,y,2,，,y,3,随着变量,x,的变化情况如下表：,x,1,3,5,7,9,11,y,1,5,135,625,1715,3645,6655,y,2,5,29,245,2189,19685,177149,y,3,5,6.10,6.61,6.95,7.2,7.4,则关于,x,分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为,(,),A,y,1,，,y,2,，,y,3,B,y,2,，,y,1,，,y,3,C,y,3,，,y,2,，,y,1,D,y,1,，,y,3,，,y,2,解析：选,C.,通过指数型函数，对数型函数，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量,y,3,随,x,的变化符合此规律；,指数型函数的增长是爆炸式增长，,y,2,随,x,的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，,y,1,随,x,的变化符合此规律,故选,C.,题型二比较大小问题,比较下列各组数的大小,例2,【方法小结】,解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图像,变式训练,2,y,1,2,x,，,y,2,x,2,，,y,3,log,2,x,当,2,x,4,时,有,(,),A,y,1,y,2,y,3,B,y,2,y,1,y,3,C,y,1,y,3,y,2,D,y,2,y,3,y,1,解析：选,B.,在同一平面直角坐标系中画出函数,y,2,x,，,y,x,2,，,y,log,2,x,的图像,(,图略,),，在区间,(2,4),上从上往下图像依次是,y,x,2,，,y,2,x,，,y,log,2,x,，所以,y,2,y,1,y,3,.,题型三几种增长函数模型的应用,(本题满分12分)某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金,y,(万元)随销售利润,x,(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：,y,0.25,x,，,y,log,7,x,1，,y,1.002,x,，其中哪个模型能符合公司要求？,例3,【解】借助计算器或计,算机作出函数,y,5,，,y,0.25,x,，,y,log,7,x,1,，,y,1.002,x,的图像如图所示：,观察图像发现，在区间,10,1000,上模型,y,0.25,x,，,y,1.002,x,的图像都有一部分在,y,5,的上方，这说明只有按模型,y,log,7,x,1,进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断,对于模型,y,0.25,x,，它在区间,10,，,1000,上是单调递增的，当,x,(,20,，,1000,时，,y,5,，因此该模型不符合要求,.,5,分,对于模型,y,1.002,x,，利用计算器，可知,1.002,806,5.005,，由于,y,1.002,x,是增函数，,故当,x,(806,1000,时，,y,5,，因此，也不符,合题意,.6,分,对于模型,y,log,7,x,1,，它在区间,10,1000,上,单调递增且当,x,1000,时，,y,log,7,1000,1,4.55,5,，所以它符合奖金总数不超过,5,万元的要求,.8,分,再计算按模型,y,log,7,x,1,奖励时，奖金是否,超过利润,x,的,25%,，即当,x,10,1000,时，利,用计算器或计算机作,f,(,x,),log,7,x,1,0.25,x,的图像，由图像可知,f,(,x,),是减函数，因此,f,(,x,),f,(10),0.3167,0,，即,log,7,x,1,0.25,x,.,10,分,所以当,x,10,1000,时，,y,0.25,x,.,这说明，按模型,y,log,7,x,1,奖励不超过利润的,25%.11,分,综上所述，模型,y,log,7,x,1,确实符合公司要,求,.12,分,【思维总结】,借助函数图像，研究它们的变化是这类题的常用方法,变式训练,318世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：,行星,1(,金星,),2(,地球,),3(,火星,),4(,),5(,木星,),6(,土星,),7(,),距离,0.7,1.0,1.6,5.2,10.0,他研究行星排列规律后预测在火星,与木星之间应该有一颗大的行星，,后来果然发现了一颗谷神星，但不,算大行星，它可能是一颗大行星爆,炸后的产物请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？,备选例题,1,试比较函数,y,x,100,，,y,5,x,，,y,log,5,x,的增长情况,解：三个函数中，,y,log,5,x,增长的速度要比,y,x,100,和,y,5,x,增长的速度慢得多，且,y,log,5,x,增长得越来越慢，图像几乎渐渐与,x,轴平行;而,y,x,100,和,y,5,x,，当,x,比较小时，,y,x,100,要比,y,5,x,增长得快，但当,x,逐渐增大，增大到一定程度后，,y,5,x,要比,y,x,100,增长得快,2,某城市现有人口总数为,100,万人，如果年自然增长率为,1.2%,，试解答下面的问题：,(1),写出该城市人口总数,y,(,万人,),与年数,x,(,年,),的函数关系式；,(2),计算,10,年以后该城市人口总数,(,精确到,0.1,万人,),；,(3),计算大约多少年以后该城市人口将达到,120,万人,(,精确到,1,年,),(1.012,10,1.127,1.012,15,1.196,1.012,16,1.210),解：,(1)1,年后该城市人口总数为：,y,100,100,1.2%,100,(1,1.2%),2,年后该城市人口总数为：,y,100,(1,1.2%),100,(1,1.2%),1.2%,100,(1,1.2%),2,.,3,年后该城市人口总数为：,y,100,(1,1.2%),2,100,(1,1.2%),2,1.2%,100,(1,1.2%),2,(1,1.2%),100,(1,1.2%),3,.,x,年后该城市人口数为：,y,100,(1,1.2%),x,(,x,N,),(2)10,年后该城市的人口数为,100,(1,1.2%),10,112.7(,万人,),(3),设,x,年后该城市人口将达到,120,万人，,即,100,(1,1.2%),x,120,，,x,log,1.012,1.20,16(,年,),因此，大约,16,年以后该城市人口将达到,120,万人,方法感悟,方法技巧,选择增长型函数描述实际问题的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律,