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2.3.1 数学归纳法,归纳推理是合情推理,，它可以帮助我们发现规律，但是不能用来证明数学结论，数学归纳法是已知证明方法，专门用来证明与自然数相关的命题。,1数学归纳法,:对于某些与自然数,n,有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性:,先证明当,n,取第一个值,n,0,时命题成立；然后假设当,n,=,k,(,k,N*，,k,n,0,)时命题成立，证明当,n,=,k,+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法,2数学归纳法的基本思想：,即先验证使结论有意义的最小的正整数,n,0,，如果当,n,=,n,0,时，命题成立，再假设当,n,=,k,(,k,n,0,，,k,N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)。根据这个假设，如能推出当,n,=,k,+1时，命题也成立，,那么就可以递推出对所有不小于,n,0,的正整数,n,0,+1，,n,0,+2，,，命题都成立.,例如在本章2.1节的练习中，同学们用归纳推理猜想到,这个猜想是一个与自然数相关的命题，其正确性有待证明。要证明公式（*）成立，原则上要对每一个正整数,n,实施证明。但是这个证明步骤是无限的，无法实施，需要另寻方法。数学归纳法可以用有限的步骤，完成这个命题的证明。其步骤如下：,（1）当,n,=1时，（*）式左端等于1，右端也等于1，因此（*）式对,n,=1成立；,（2）假设当,n,=,k,时，（*）式成立，即假设,在此前提下，可推出,而,由此可见在假设（*）式对,n,=,k,成立的前提下，推出（*）式对,n,=,k,+1成立。,于是可以断定（*）式对一切正整数,n,成立.,由步骤（1），可知（*）式对,n,=1成立；由（*）式对,n,=1成立及步骤（2），可知对,n,=1+1=2，（*）式成立；再由（*）式对,n,=2成立及步骤（2），可知对,n,=2+1=3，（*）式成立；继续上述步骤，可知（*）式对,n,=3+1=4，,n,=4+1=5，,n,=5+1=6，,n,=(,k,1)+1=,k,，都成立。,于是（*）式对一切正整数,n,成立。,数学归纳法：,一个与自然数相关的命题，如果,那么可以断定，这个命题对,n,取第一个值后面的所有正整数成立。,（1）当,n,取第一个值,n,0,时命题成立；,（2）在假设当,n,=,k,(,k,N,+，且,k,n,0,)时命题成立的前提下，推出当,n,=,k,+1时命题也成立，,例1用数学归纳法证明：如果,a,n,是一个等差数列，公差是,d,，那么,a,n,=,a,1,+(,n,1),d,对一切,n,N,+,都成立。,证明：（1）当,n,=1时，左边=,a,1,，右边=,a,1,等式是成立的；,（2）假设当,n,=,k,时，等式成立，即,a,k,=,a,1,+(,k,1),d,，,那么,a,k,+1,=,a,k,+,d,=,a,1,+(,k,1),d,+,d,=,a,1,+,kd,，,这就是说，当,n,=,k,+1时，等式也成立，,由（1）和（2）可以断定，等式对任何,n,N,+,都成立。,例2用数学归纳法证明：1+3+5+,+(2,n,1)=,n,2,.,证明：（1）当,n,=1时，左边=1，右边=1，等式成立；,（2）假设当,n,=,k,时，等式成立，即1+3+5+,+(2,k,1)=,k,2,.,那么1+3+5+,+(2,k,1)+2(,k,+1)1,=,k,2,+2(,k,+1)1=,k,2,+2,k,+1=(,k,+1),2,.,这就是说，当,n,=,k,+1时，等式也成立，,由（1）和（2）可以断定，等式对任何,n,N,+都成立。,例3用数学归纳法证明：,证明：（1）当,n,=1时，左边=4，右边=4，因为左边=右边，所以等式是成立的；,（2）假设当,n,=,k,时，等式成立，即,这就是说，当,n,=,k,+1时，等式也成立，,由（1）和（2）可以断定，等式对任何,n,N,+,都成立。,9,、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。,2024/10/4,2024/10/4,Friday,October 4,2024,10,、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,10/4/2024 11:53:29 PM,11,、越是没有本领的就越加自命不凡。,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,Oct-24,04-Oct-24,12,、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,Friday,October 4,2024,13,、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,10/4/2024,14,、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。,04 十月 2024,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,15,、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。,十月 24,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,10/4/2024,16,、业余生活要有意义，不要越轨。,2024/10/4,2024/10/4,04 October 2024,17,、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,2024/10/4,谢谢观赏,You made my day!,我们，还在,路,上,
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