高考复习ppt课件统计案例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中数学课件,灿若寒星整理制作,统计案例,两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,现实生活中两个变量间的关系:,相关关系,：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种理想的关系模型,相关关系在现实生活中大量存在，是更一般的情况,这种方法称为回归分析.,两个具有线性相关关系的变量的统计分析：,（1）画散点图；,（2）求回归直线方程(最小二乘法)：,（3）利用回归直线方程进行预报；,回归分析,是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.,为样本点的中心,样本点：,表示有一组具体的数据估计得到的截距和斜率;,a,b,y表示真实值;,表示有真实值a,b所确定的值.,表示有估计值所确定的值.,什么是回归分析：,“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。,根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以,X,记父辈身高，,Y,记子辈身高。虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，,X和Y之间存在一种相关关系。,虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它所描述的关于,X,为自变量，,Y,为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的回归含义是相同的。,不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。,一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈,的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。,回归分析的内容与步骤：,统计检验通过后，最后是,利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量,。,回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。,其主要内容和步骤是，,首先根据理论和对问题的分析判断，,将变量分为自变量和因变量,；,其次，设法,找出合适的数学方程式（即回归模型）,描述变量间的关系；,由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要,对回归模型进行统计检验,；,某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.,解：取身高为解释变量x，体重为预报变量y，作散点图：,样本点呈条状分布，身高和体重有较好的线性相关关系，因此可以用回归方程来近似的刻画它们之间的关系.,由,得：,故所求回归方程为：,因此，对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为：,是斜率的估计值，说明身高x每增加1个单位时，体重y就增加0.849个单位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系.,身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？,如果不是，你能解析一下原因吗？,答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。,如何描述它们之间线性相关关系的强弱？,相关系数,相关系数的性质,(1)|r|1,(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0，相关程度越弱,注:b与r同号,问题：达到怎样程度，x、y线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？,相关系数,正相关；负相关,通常：,r,-1,-0.75-负相关很强;,r,0.75,1,正相关很强;,r,-0.75,-0.3-负相关一般;r,0.3,0.75,正相关一般;,r,-0.25,0.25-相关性较弱;,对r进行显著性检验,相关关系的测度,（相关系数取值及其意义）,-1.0,+1.0,0,-0.5,+0.5,完全负相关,无线性相关,完全正相关,负相关程度增加,r,正相关程度增加,某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示.,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.,故所求回归方程为：,r=0.798,表明体重与身高有很强的线性相关性，从而说明我们建立的回归模型是有意义的.,认为她的平均体重的估计值是60.316kg.,因为所有的样本点不共线，所以线性函数模型只能近似地刻画身高和体重之间的关系，即：体重不仅受身高的影响，还受其他因素的影响，,把这种影响的结果用e来表示，从而把线性函数模型修改为线性回归模型：y=bx+a+e.其中，e包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分.,线性回归模型,其中a和b为模型的未知参数，e是y与,之间的误差，通常,e为随机变量,，称为,随机误差,.,均值E(e)=0，方差D(e)=,2,0,线性回归模型的完整表达式为：,线性回归模型适用范围比一次函数的适用范围大得多.当随机误差e恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.即：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.,随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差.,和为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间存在误差是引起预报值与真实值y之间的误差的另一个原因.,随机误差e的主要来源：,（1）,用线性回归模型近似真实模型,（真实模型是客观存在的，但我们并不知道到底是什么）,所引起的误差,.可能存在非线性的函数能更好的描述y与x之间的关系，但我们现在却用线性函数来表述这种关系，结果就产生误差，这种由于模型近似所引起的误差包含在e中.,（2）,忽略了某些因素的影响.,影响变量y的因素不止变量x一个，可能还有其他因素，但通常它们每一个因素的影响可能都比较小，它们的影响都体现在e中.,（3）,观测误差,.由于测量工具等原因，得到的y的观测值一般是有误差的，这样的误差也包含在e中.,以上三项误差越小，则回归模型的拟合效果越好.,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型：,回归模型：,线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定，即,自变量x只能解析部分y的变化,。,在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。,在线性回归模型中，e是用预报真实值y的误差，它是一个不可观测的量，那么该怎样研究随机误差，如何衡量预报的精度？,由于随机误差e的均值为0，故采用方差来衡量随机误差的大小.,如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上,与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？,假设身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，那么所有人的体重将相同。在体重不受任何变量影响的假设下，设8名女大学生的体重都是她们的平均值，即8个人的体重都为54.5kg。,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,54.5,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,54.5kg,在散点图中，所有的点应该落在同一条水平直线上，但是观测到的数据并非如此。,这就意味着,预报变量（体重）的值受解析变量（身高）或随机误差的影响,。,例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以,6.5kg是解析变量和随机误差的,组合效应,。,编号为3的女大学生的体重并也没有落在水平直线上，她的体重为50kg。解析变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从50kg“推”到了54.5kg，相差-4.5kg，这时解析变量和随机误差的组合效应为,-4.5kg,。,用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。,数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用,表示总的效应，称为,总偏差平方和。,在例1中，总偏差平方和为354。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,那么，在这个总的效应（总偏差平方和）中，有多少来自于解析变量（身高）？有多少来自于随机误差？,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。,这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了,。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,在例1中，残差平方和约为128.361。,因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，,称为,残差,。,例如，编号为6的女大学生计算随机误差的效应（残差）为：,对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号,表示为：,称为,残差平方和,，,它代表了随机误差的效应。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,随机误差,e的估计量,样本点：,相应的随机误差为：,随机误差的估计值为：,称为相应于点的,残差.,的估计量,为,称为,残差平方和.,残差分析,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否是线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据.这方面的分析工作称为残差分析.,0.382,-2.883,6.627,1.137,-4.618,2.419,2.627,-6.373,残差,59,43,61,64,54,50,57,48,体重/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,下表为女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据：,e,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，,是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始,数据中是否存在可疑数据，,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本,编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为,残差图,。,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；,若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,；,对于远离横轴的点，要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明：,第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。,另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,由于解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为128.361，所以解析变量的效应为,解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和)=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）,354-128.361=225.639,这个值称为,回归平方和。,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,显然，R,2,的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。,在线性回归模型中，R,2,表示解析变量对预报变量变化的贡献率,。,R,2,越接近1，表示回归的效果越好（因为R,2,越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R,2,的值来做出选择，即,选取R,2,较大的模型作为这组数据的模型,。,总的来说：,相关指数R,2,是度量模型拟合效果的一种指标。,在线性模型中，它,代表自变量刻画预报变量的能力,。,我们可以用,相关指数R,2,来刻画回归的效果，其计算公式是,1,354,总计,0.36,128.361,残差变量,0.64,225.639,随机误差,比例,平方和,来源,表1-3,从表3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了64%，即R,2,0.64，可以叙述为“身高解析了64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的36%。,所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。,用身高预报体重时，需要注意下列问题：,1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；,2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；,3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；,4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。,事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。,这些问题也使用于其他问题。,涉及到统计的一些思想：,模型适用的总体；,模型的时间性；,样本的取值范围对模型的影响；,模型预报结果的正确理解。,建立回归模型的基本步骤：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;,（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）；,（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）；,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；,（5）得出结果后分析残差图是否异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.,一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于下表，试建立y与x之间的回归方程.,325,115,66,24,21,11,7,产卵数y/个,35,32,29,27,25,23,21,温度x/,0,C,解：收集数据作散点图：,在散点图中，样本点没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈现线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.,根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线的周围，其中c,1,和c,2,是待定参数.,令z=lny，则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a（a=lnc,1,，b=c,2,）的周围.,利用线性回归模型建立y和x之间的非线性回归方程.,当回归方程不是形如y=bx+a时，我们称之为,非线性回归方程.,5.784,4.745,4.190,3.178,3.045,2.398,1.946,z,35,32,29,27,25,23,21,X,所得线性回归方程为：,a=lnc,1,，b=c,2,所以红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为：,若看成样本点集中在某二次曲线y=c,3,x,2,+c,4,的附近.,作变换t=x,2,，建立y与t之间的线性回归方程：y=c,3,t+c,4,.,325,115,66,24,21,11,7,y,1225,1024,841,729,625,529,441,t,y关于x的二次回归方程为：,利用残差计算公式：,77.968,-58.265,-40.104,-41.000,-5.832,19.400,47.696,34.675,-13.381,9.230,-8.950,1.875,-0.101,0.557,325,115,66,24,21,11,7,Y,35,32,29,27,25,23,21,X,由残差平方和：,故指数函数模型的拟合效果比二次函数的模拟效果好.,或由条件R,2,分别为0.98和0.80，同样可得它们的效果.,给定样本点：,两个含有未知参数（a、b为未知参数）的模型：,如何比较它们的拟合效果：,（1）分别建立对应于两个模型的回归方程,分别是参数a和b的估计值.,（2）分别计算两个回归方程的残差平方和,（3）若，则的拟合效果好；,反之，的拟合效果好.,什么是回归分析？,（内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式,对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著,利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量,x,变量,y,处于平等的地位；回归分析中，变量,y,称为因变量，处在被解释的地位，,x,称为自变量，用于预测因变量的变化,相关分析中所涉及的变量,x,和,y,都是随机变量；回归分析中，因变量,y,是随机变量，自变量,x,可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量,相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量,x,对变量,y,的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制,