教育专题：三角形中位线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第23章相似图形的性质,23.4 三角形的中位线,1,、相似三角形的对应边成比例，对应角相等。,2,、相似三角形对应高的比、对应中线的比、,对应角平分线的比、周长的比都等于相似比。,3,、相似三角形的面积比等于相似比的平方。,复习回顾,性质,1,、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。,2,、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。,3,、如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。,判定,A,C,B,F,E,D,在,ABC,中，,D,，,E,分别是,AB,，,AC,的中点，连接,DE,求证：,DEBC,，且,DE=1/2BC,证明：在,ABC,中，,D,，,E,分别是,AB,，,AC,的中点，,A=A,ADEABC,ADE=ABC,DEBC,，且,DE=BC,1,2,C,B,A,F,E,D,连接三角形两边中点的线段,叫做,三角形的中,位线,三角形中位线的定义,数学语言,DE,是,ABC,的中位线,DEBC,AF,是,ABC,的中线,我们把,DE,叫做,ABC,的中位线,C,B,A,F,E,D,一个三角形共有几条中位线？中位线和三角形的中线一样吗？,答：三条,友情提醒：,理解三角形的中位线定义的两层含义,:,如果,DE,为,ABC,的中位线，那么,D,、,E,分别为,AB,、,AC,的,。,如果,D,、,E,分别为,AB,、,AC,的中点，那么,DE,为,ABC,的,；,C,B,A,E,D,中位线,中点,怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？,A,B,C,D,E,F,活动一,A,B,C,D,E,F,四边形,BCFD,是平行四边形吗？为什么？,探索,三,角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,DE,是,ABC,的中位线，猜想,DE,与,BC,有怎样的位置关系和数量关系？为什么？,探索,A,B,C,D,E,F,三角形中位线定理,A,、,B,两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？,M,N,在,AB,外选一点,C,，连结,AC,和,BC,，并分别找出,AC,和,BC,的中点,M,、,N,，如果测得,MN=20m,，那么,A,、,B,两点的距离是多少？为什么？,说一说,C,B,A,20,40,如图,1,：在,ABC,中，,DE,是中位线,（,1,）若,ADE=60,，,则,B=,度，为什么？,（,2,）若,BC=8cm,，,则,DE=,cm,，为什么？,如图,2,：在,ABC,中，,D,、,E,、,F,分别,是,各边中点,AB=6cm,，,AC=8cm,，,BC=10cm,，,则,DEF,的周长,=,cm,图,1,图,2,60,4,12,A,B,C,D,E,B,A,C,D,E,F,5,4,3,问题,6,10,8,8,例,1,求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分,已知：如,图,23,4,3,所示，在,ABC,中，,AD,DB,，,BE,EC,，,AF,FC,证明连结,DE,、,EF,AD,DB,，,BE,EC,，,DEAC,（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）,同理,EFAB,四边形,ADEF,是平行四边形,AE,、,DF,互相平分（平行四边形的对角线互相平分）,求证：,AE,、,DF,互相平分,小结：,概念：,顺次连结三角形的各边中点所组成的三角形叫做,中点三角形,结论,1,：,结论,3,：,结论,4,：,结论,2,：,ABC,DEF,例,2,如,图,23,4,4,，,ABC,中，,D,、,E,分,别是,边,BC,、,AB,的中点，,AD,、,CE,相交于,G,求证：,证明,:,连结,ED,，,D,、,E,分别是边,BC,、,AB,的中点，,DE,AC,，,（,三角,形中,位线平,行第,三,边且,等于第三边的,一半,),ACGDEG,，,G,三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连,线的,长是对应中线,长的,1,3,求,证：顺次连结四边形四条边的中点，,所得的,四边形是平行四边形。,A,B,C,D,E,F,G,H,已知：在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点。求证：四边形,EFGH,是平行四边形。,证明：,连结,AC,AH=HD,，,CG=GD,HG/AC,，,HG=AC,（三角形中位线定理）,同理：,EF/AC,，,EF=AC,且,EF=HG,所以四边形,EFGH,是平行四边形,EF/HG,，,变,题,1,、,若四边形,ABCD,从普通形,状变,成,平行四边形，其它条件不变，则四边形,EFGH,的形状会变化吗？为什么？,A,B,C,D,E,F,G,H,理由：,E,F,G,H,分别为,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中点，所以连接,AC,，,BD,有,EFAC,且,EF=1/2AC,GHAC,且,GH=1/2AC,GHGH,且,EF=GH,四边形,EFGH,为平行四边形,例题的推广,求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。,A,B,C,D,E,F,G,H,证明：,连结,AC,、,BD,AH=HD,，,CG=GD,HG=AC,HE=GF=BD,HG=EF=HE=GF,四边形,EFGH,是菱形,同理：,EF=AC,AC=BD,已知：在矩形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点。,求证：四边形,EFGH,是菱形。,变,题,3,、,若四边形,ABCD,从普通的,四边,形,变成菱形，其它条件不变，则四边形,EFGH,的形状会有变化吗？为什么？,A,B,C,D,E,F,G,H,平行四边形,EFGH,边长与对角线长分别相关，夹角和两条对角线交角相同,变,题,4,、,若四边形,ABCD,从普通,四边,形,变成正方形，其它的条件不变，则四边形,EFGH,的形状会有变化吗？为什么？,A,B,C,D,E,F,G,H,平行四边形,EFGH,边长与对角线长分别相关，夹角和两条对角线交角相同,练 习,2.,顺次连接对角线相等的任意四边形的各 边中点所得的四边形是,_,3.,顺次连接对角线互相垂直的任意四边形的各边中点所得的四边形是,_,1.,顺次连接任意四边形的各边中点所得的四边形是,_,平行四边形,菱 形,矩 形,1.,三角形中位线定理为证明平行关系提供了新的依据；并,为证明一条线段是另一条线段的,2,倍或,1/2,提供了一个新的途径。,2.,在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线：,有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形；,有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线。,方法小结：,1,已知三角形三条中位线的比为,3,：,5,：,6,，三角形的周长是,112cm,，求三条中位线长。,2,如图所示，中线,BD,、,CE,相交于,O,，,F,、,G,分别为,OB,、,OC,的中点。,(1),求证：四边形,DEFG,为平行四边形。,(2),若,OD=3,CG=2,求,BF,及,EG,的长度。,中三角的周长,=112/2=56=3x+5x+6x,解得,x=4,中线长分别为,12,20,24,（,1,）对角线相互平分,（,2,）,BF=OD;EG=2CG,1.,如图，在,平行四边形,ABCD,中，有,E,、,F,分别是,AD,、,BC,上的点，且,DE=CF,，,BE,和,AF,的交点为,M,，,CE,和,DF,的交,点为,N.,求证：,MNAD,MN=1/2AD.,2.,如图，在四边形,ABCD,中，对角线,AC,、,BD,交于点,O,，,E,、,F,分别是,AB,、,CD,的中点，且,AC=BD.,求证：,OM=ON.,【,答案,】1.,解：连结,EF,，,证四边形,ABFE,和四边形,DCFE,均为平行四边形，,得,FM=AM,，,FN=DN,，,MNAD,MN=1/2AD,