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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,大一高数-微分,一、微分的概念,引例:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为,x,面积为,A,则,面积的增量为,关于,x,的线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的,微分,定义:,若函数,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:,函数,在点 可微的,充要条件,是,即,在点,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,(4)当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:,函数,证:,“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:,函数,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作,微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,求,基本初等函数的微分公式,(见 P136表),又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、微分运算法则,设,u,(,x,),v,(,x,)均可微,则,(,C,为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,求,解:,利用一阶微分形式不变性,有,例3.,在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性,例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解:,已知球体体积为,镀铜体积为,V,在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值.,解:,设,取,则,例5.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值.,解:,例6.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(,u,是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,导数与微分的区别:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P142 1-10,复习题 一、,1，2；二、1 6；8,
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