北大随机信号分析基础课件 2.2 随机过程统计特性(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2 随机过程的统计特性,2.2.1 随机过程的概率分布,1. 一维概率分布,对于任意的时刻,t，X(t),是一个随机变量，设,x,为任意实数，定义,为随机过程,X(t),的,一维分布函数,。,若 的一阶偏导数存在，则定义,为随机过程,X(t),的,一维概率密度,。,随机过程一维分布的性质：,2. 二维概率分布和,n,维概率分布,对于随机过程,X(t)，,在任意两个时刻,t,1,和,t,2,可得到两个随机变量,X(t,1,),和,X(t,2,)，,可构成二维随机变量,X(t,1,),X(t,2,)，,它的二维分布函数,称为随机过程,X(t),的,二维概率分布函数,。,若 对,x,1,x,2,的偏导数存在，则定义,为随机过程,X(t),的,二维概率密度,。,对于任意的时刻,t,1,t,2,t,n,，,X(t,1,),X(t,2,), X(,t,n,),是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程,X(t),的,n,维概率分布，即定义,为随机过程,X(t),的,n,维概率分布函数,。,为随机过程,X(t),的,n,维概率密度,。,随机过程,X(t),和,Y(t),的四维联合概率密度,若两个随机过程互相独立，则有,一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即,X(t,1,),和,X(t,2,),互相独立,例：设随机过程,其中,w,0,是常数，,X,是均值为零，方差为1,的正态随机变量，求 时,Y(t),的概率密度，及,Y(t),的一维概率密度。,2.2.2 随机过程的数字特征,1. 数学期望,对于任意的时刻,t，X(t),是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为,随机过程的数学期望,，记为,m,x,(t)，,即,2. 方差,对于任意的时刻,t，X(t),是一个随机变量，称该随机变量,X(t),的二阶中心矩为,随机过程的方差,，记为,DX(t)，,即,3. 自相关函数和协方差函数,设,X(t,1,),和,X(t,2,),是随机过程,X(t),在,t,1,和,t,2,二个任意时刻的状态，,f,X,(x,1,x,2,;t,1,t,2,),是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为,X(t),的,自相关函数,，简称,相关函数,设,X(t,1,),和,X(t,2,),是随机过程,X(t),在,t,1,和,t,2,二个任意时刻的状态，称,X(t,1,),和,X(t,2,),的二阶联合中心矩为,X(t),的,自协方差函数,当 时，,当 时，,若对于任意的,t,1,和,t,2,都有,C,X,(t,1,t,2,)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是,不相关的,。,若,R,X,(t,1,t,2,)=0，,则称,X(t,1,),和,X(t,2,),是,相互正交的,。,若,则称随机过程在,t,1,和,t,2,时刻的状态是相互独立的。,4. 互相关函数和互协方差函数,设有两个随机过程,X(t),和,Y(t)，,它们在任意两个时刻,t,1,和,t,2,的状态分别为,X(t,1,),和,Y(t,2,)，,则随机过程,X(t),和,Y(t),的,互相关函数,定义为,类似地，定义两个随机过程的,互协方差函数,为,若对于任意时刻,t,1,和,t,2,，,有,R,XY,(t,1,t,2,)=0，,则称,X(t),和,Y(t),是,正交过程,，此时有,若对于任意时刻,t,1,和,t,2,，,有,C,XY,(t,1,t,2,)=0，,则称,X(t),和,Y(t),是,互不相关的,，此时有,当,X(t),和,Y(t),互相独立时，满足,则有,当,X(t),和,Y(t),互相独立时，,X(t),与,Y(t),之间一定不相关；反之则不成立。,研究随机过程有两条途经：,侧重于研究概率结构,侧重于统计平均性质的研究,例：求随机过程,的数学期望，方差及自相关函数。其中，,w,0,为常数， 是在区间,上均匀分布的随机变量。,2.2.3 随机过程的特征函数,对于某一固定时刻,t，,随机变量,X(t),的特征函数就定义为,随机过程的一维特征函数,一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系,随机过程的二维特征函数,：,随机过程在任意两个时刻,t,1,和,t,2,的取值构成一个二维随机变量,X(t,1,),X(t,2,),它的特征函数,定义为,随机过程,X(t),的二维特征函数。,随机过程的特征函数与矩函数之间的关系为：,相关函数与二维特征函数之间的关系为：,