教育专题：(几何概型)授课 (2)

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,几 何 概 型,这是,古典概型，它是这样定义的：,（,1,）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,;,（,2,）每个基本事件出现的可能性相等,.,我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型,.,其,概率,计算公式,:,P(A)=,A,包含的基本事件的个数,基本事件的总数,我抛一块硬币，猜这一次是正面向上,.,问题：他猜中的概率,是多少？,这是什么概型问题,它是如何定义的,?,复习回顾,在,3,米长的绳子上有四个点,P,Q,R,S,，将绳子五等分，从这四个点中任意一点处将绳子剪断，如果剪得两段长都不小于,1,米，那灰太狼就可以不被红太狼赶出去，那么他不出去的概率是多少？,P,Q,R,S,2,1,强化训练,思考：当随机试验的基本事件有,无限个,时，事件的概率应该如何求呢,?,问题,1.,红外保护线长,3,米，只有在和两端距离均不小于,1,米的点接触红外线才不会报警，灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？,M,N,P,Q,这是古典概型吗？,你是如何计算出概率的？,3,1,问题情境,不是古典概型,问题,2.,如图所示的边长为,2,的正方形区域内有一个面积为,1,的心形（椭圆,),区域，现将一个豆子随机的扔在正方形内,.,分别计算它落在阴影部分的概率（不计豆子的面 积且豆子都落在正方形内）,这是古典概型吗？,你是如何计算出概率的？,结论：豆子落在阴影部分的概率只与阴影部分的面积有关，与形状、位置没有关系,.,4,1,问题情境,不是古典概型,问题,3.,有一个体积为,30,立方米的长方体空房间，屋顶上装了一个射灯，射灯照明的范围大概是一个体积为,10,立方米的圆锥体（如图），现有一只蜜蜂飞入该房间，设它在房间的每一个点都是等可能的，现在定格拍一张照片，求蜜蜂在光照处能被拍下的概率是多少？,3,1,问题情境,不是古典概型,这是古典概型吗？,你是如何计算出概率的？,（,2,）试验的概率是如何求得的？,（,1,）类比古典概型,说明以上三个试验有什么共同点？,借助几何图形的,长度、面积、体积的比值,分析事件,A,发生的概率,.,试验中所有可能出现的,基本事件有无限多个；,每个基本事件的发生都是,等可能的,.,探究,将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到,几何概型,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的,长度,(,面积或体积,),成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为,几何,概型,.,几何概型的特点,(1),试验中所有可能出现的结果,(,基本事件,),有无限多个,.,(2),每个基本事件出现的可能性相等,.,几何概型中的事件,A,的概率计算公式,设,D,是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）,.,每个基本事件可以视为从区域,D,内随机地取一点，区域,D,内的每一点被取到的机会都一样；随机事件,A,的发生可以视为恰好取到区域,D,内的某个指定区域,d,中的点,.,这时，事件,A,发生的概率与,d,的测度（长度、面积、体积等）成正比，与,d,的形状与位置无关,.,我们把满足这种条件的概率模型称为,几何概型,.,在几何概型中，事件,A,的概率计算公式为,理解定义,下列概率问题中哪些属于几何概型？（口答）,从一批产品中抽取,30,件进行检查,有,5,件次品，求正品的概率。,箭靶的直径为,1m,，其中，靶心的直径只有,12cm,，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？,随机地向四方格里投掷硬币,50,次，统计硬币正面朝上的概率。,在,1,万平方公里的海域中有,40,平方公里的大陆贮藏着石油,.,假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少,?,（,1,）（,3,）属于古典概型；（,2,）（,4,）属于几何概型,图,中有两个转盘,.,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向,B,区域时,甲获胜,否则乙获胜,.,在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少,?,A,。,B,(1)如果在转盘上，区域B缩小为一个单点，那么甲获胜的概率是多少？,构成事件“甲获胜”的区,域是,一个,单点，面积为,0,，所以,P(,甲获胜,)=0,(2),如果在转盘上，区域,B,扩大为整个转盘扣除一个单,点,A,，,那么甲获胜的概率是多少？,B,。,A,构成事件“甲获胜”的区,域是圆的面积减,去一个单点,的面积,0,，所以,P(,甲获胜,)=1,概率为0的事件不一定是不可能事件,概率为1的事件不一定是必然事件,例,1.,某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于,10,分钟的概率,.,分析,:,收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个，符合几何概型条件,.,例题讲解,法一：,将时间转化成长,60,的线段，研究事件,A,位于,50,60,之间的线段的概率,例,1,某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于,10,分钟的概率,.,解：设,A=,等待的时间不多于,10,分钟,.,事件,A,恰好是打开收音机的时刻位于,50,60,时间段内发生,.,答：,等待的时间不多于,10,分钟的概率,为,例题讲解,例,1,某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于,10,分钟的概率,.,法二：,（利用利用,50,60,时间段所占的弧长）,解：设,A=,等待的时间不多于,10,分钟,.,事件,A,恰好是打开收音机的时刻位于,50,60,时间段内发生,.,答：,等待的时间不多于,10,分钟的概率,为,例题讲解,例,1,某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于,10,分钟的概率,.,法三：,（利用,50,60,时间段所占的圆心角）,解：设,A=,等待的时间不多于,10,分钟,.,事件,A,恰好是打开收音机的时刻位于,50,60,时间段内发生,.,答：,等待的时间不多于,10,分钟的概率,为,例题讲解,例,1,某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于,10,分钟的概率,.,法四：,（利用,50,60,时间段所占的面积）,解：设,A=,等待的时间不多于,10,分钟,.,事件,A,恰好是打开收音机的时刻位于,50,60,时间段内发生,.,答：,等待的时间不多于,10,分钟的概率,为,例题讲解,公共汽车在,0,5,分钟内随机地到达车站，求汽车在,1,3,分钟之间到达的概率,.,分析：将,05,分钟这段时间看作是一段长度为,5,个单位长度的线段，则,13,分钟是这一线段中,的,2,个单位长度,.,解：设“汽车在,13,分钟之间到达”为事件,A,，则,所以“汽车在,13,分钟之间到达”的概率为,练习,1,已知地铁列车每,10min,一班，在车站停,1min,，求乘客到达站台立即能乘上车的概率,.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解：记,“,乘客到达站台立即能乘上车,”,为事件,A,由于乘客随机地到达站台，故可以认为乘客在,10min,内到达站台是等可能的,.,当乘客在地,铁停留的,1min,内到达站台时，可以立即乘上车,.,答：乘客到达站台能立即乘上车的概率是,.,练习,2,解,:,以两班车出发间隔,(,0,，,10,),区间作为样本空间,S,，,乘客随机地到达，即在这个长度是,10,的区间里任何,一个点都是等可能地发生，因此是几何概率问题。,假设车站每隔,10,分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过,3,分钟的概率？,要使得等车的时间不超过,3,分钟，即到达的时刻应该是,图中,A,包含的样本点，,0,S,10,p,(A)=,=,=0.3,。,A,的长度,S,的长度,3,10,练习,3,解：记,“,豆子落入圆内,”,为事件,A,，,例题讲解,例,2.,取一个边长为,2a,的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率,.,数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率,由此可得,如果向正方形内撒 颗豆子，其中落在圆内的,豆子数为 ，那么当 很大时，比值 ，,即频率应接近于 ，于是有,【,解,】,(1),如图，点,P,所在的区域为,正方形,ABCD,的内部,(,含边界,),，满足,(x2),2,+(y2),2,4,的点的区域为以,(2,2),为圆心，,2,为半径的圆面,(,含边界,),所求的概率,P,1,(2),满足,x,，,y,Z,，且,|,x,|2,，,|,y,|2,的点,(,x,，,y,),有,25,个，,满足,x,，,y,Z,，且,(,x,2),2,(,y,2),2,4,的点,(,x,，,y,),有,6,个，,所求的概率,P,2,已知,|,x,|2,，,|,y,|2,，点,P,的坐标为,(,x,，,y,),(1),求当,x,，,y,R,时，,P,满足,(,x,2),2,(,y,2),2,4,的概率；,(2),求当,x,，,y,Z,时，,P,满足,(,x,2),2,(,y,2),2,4,的概率,例,3,：一海豚在水池中自由游弋，水池为长,30m,，,宽为,20m,的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过,2m,的概率,30m,2m,A,20m,例题讲解,变式：一海豚在水池中自由游弋，水池为长,30m,，,宽,20m,，深,40,米的长方体。求此海豚嘴尖离岸边离水面、水底都不超过,2m,的概率,例,4,：如图，在等腰直角三角形,ABC,中，在斜边,AB,上任取一点,M,，求,AM,小于,AC,的概率。,M,A,B,C,变式,:,如图，在等腰直角三角形,ABC,中，在三角形内部任取一点,M,，求,AM,小于,AC,的概率。,M,A,B,C,思考：如图，在等腰直角三角形,ABC,中，过直角顶点,C,在角,ACB,内部作一条射线,CM,，与线段,AB,交与点,M.,求,AM,小于,AC,的概率。,M,A,B,C,即时突破,例,5.,假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上,6:30,7:30,之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上,7:00,8:00,之间,问你父亲在离开家前能得到报纸,(,称为事件,A),的概率是多少,?,父亲离,家时间,报纸送到时间,解,:,设送报人到达的时间为,x,，父亲离开家的时间为,y,.,(,x,y,),可以看成平面上的点，实验的全部结果构成的区域为,，这是一个正方形区域，面积为 ，事件,A,表示父亲在离开家能得到报纸，所构成的区域为 ，即图中的阴影部分，面积为 这是一个几何概型，所以,即时突破,两人约定在2000到2100之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在2000至2100各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率,解：设两人分别于,x,时和,y,时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当,两人到达约见地点所有时刻,(x,，,y),的各种可能结果可用图中的单位正方形内,(,包括边界,),的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻,(x,，,y),的各种可能结果可用图中的阴影部分,(,包括边界,),来表示,因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，因此所求的概率为,对于实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解,.,学法领悟,