10.1--两个计数原理优秀PPT

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章 排列、组合和二项式定理,10.1 两个计数原理,要点梳理,1.分类计数原理,完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有,m1种不同的方法，在其次类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，,则完成这件事情，共有N=种不同的,方法.,m,1,+,m,2,+,m,n,基础学问 自主学习,2.分步计数原理,完成一件事情须要分成n个不同的步骤，完成第一,步有m1种不同的方法，完成其次步有m2种不同的,方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么,完成这件事情共有N=种不同的,方法.,m,1,m,2,m,n,3.分类计数原理与分步计数原理，都涉及,的不同方法的种数.它们的区分在于,分类计数原理与 有关，各种方法,，用其中的任一种方法都可以完成这件事；,分步计数原理与 有关，各个步骤,，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.,完成一件事情,分类,相互,独立,分步,相互依,存,基础自测,1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）,A.6B.5C.3D.2,解析,“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3+2=5种不同的选法.,B,2.设集合,A,=1，2，3，4，,m,，,n,A,，则方程 +,=1表示焦点位于,x,轴上的椭圆有（）,A.6个B.8个 C.12个 D.16个,解析,因为椭圆的焦点在,x,轴上，所以当,m,=4时，,n,=1,2,3；当,m,=3时，,n,=1,2；当,m,=2时，,n,=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6个，故选A.,A,3.右图是某汽车修理公司的修理点环,形分布图，公司在年初支配给A、B、,C、D四个修理点某种配件各50件.,在运用前发觉需将A、B、C、D四个,修理点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调 整只能在相邻修理点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个修理点调整到相邻修理点的调动件次为n）为（）,A.15B.16 C.17 D.18,解析 只需A处给D处10件，B处给C处5件，C处给D处1件，共16件次.,B,4.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，假如一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（）,A.7B.64C.12D.81,解析 由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，其次步选长裤有3种选法，所以，有43=12种选法，故选C.,C,5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学,中选人参与，（1）若只需一人参与，有多少种不同的选法？,（2）若需一名老师，一名学生参与，有多少种不同的选法？,（3）若只需老师、男同学、女同学各一人参与，有多少种不同的选法？,解,（1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.,(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分,两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方,法，共有313=39种方法.,(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同,学各一人，可分三步进行：选老师有3种方法，选男,同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有,385=120种方法.,题型一 分类计数原理,【例1】在全部的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？,接受列举分类，先确定个位数字，再考虑十位数字的全部可能.然后用分类计数原理.,解 方法一 一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能.,一个两位数的个位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.把这样的两位数分成10类.,思维启迪,题型分类 深度剖析,（1）当个位数字为0时，十位数字可以是1，2，3，4，,5，6，7，8，9，有9个满足条件的两位数；,（2）当个位数字为1时，十位数字可以是2，3，4，5，,6，7，8，9，有8个满足条件的两位数；,（3）当个位数字为2时，十位数字可以是3，4，5，6，,7，8，9，有7个满足条件的两位数；,以此类推，当个位数字分别是3，4，5，6，7，8，9,时，满足条件的两位数分别有6，5，4，3，2，1，0个.,由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为,9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45个.,方法二 考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十,位数字的大小关系，利用对应思想计算.,全部90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为,11，22，33，99共9个；,另有10，20，30，90共9个两位数的个位数字与十,位数字不能调换位置；,其余90-18=72个两位数，按“ab”与“ba”进行一一对,应，则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与,另一个“十位数字小于个位数字的两位数”对应，,故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有722=36,个.故满足条件的两位数的个数为9+36=45个.,探究提高 合理分类是提高解题质量的保证，方法一从两位数的个位数字着手，确立分类标准，使计数过程一目了然；方法二奇异地应用了“一一对应”的思想，简化了计数过程，这种思想方法在排列、组合计数问题中也常常运用.,知能迁移1 同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有 种不同的取法.,解析 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：,第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不,的取法；,其次类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不,同的取法；,上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语,单词卡片这件事，应用分类加法计数原理来解题，,所以从中任取一张英语单词卡片的方法种数为30,+20=50种.,答案 50,题型二 分步计数原理,【例2】已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示,平面上的点(a,bM),问:,(1)P可表示平面上多少个不同的点?,(2)P可表示平面上多少个其次象限的点?,(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?,完成“确定点P”这件事需依次确定横、,纵坐标，应用分步计数原理.,思维启迪,解 （1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成：,第一步确定a的值，共有6种确定方法；,其次步确定b的值，也有6种确定方法.,依据分步计数原理，得到平面上的点数是,66=36.,（2）确定其次象限的点，可分两步完成：,第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法.,由分步计数原理，得到其次象限点的个数是,32=6.,（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.,因此a和b必需在集合M中取同一元素，共有6种取,法，即在直线y=x上的点有6个.,由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.,利用分步计数原理解决问题：,要按事务发生的过程合理分步，即分步是有先,后依次的；各步中的方法相互依存，缺一不行，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.,知能迁移2 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.,（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？,（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？,探究提高,解 （1）各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有54=20（种）.,（2）若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10种可能性，即可能装入0，1，2，9封信等不同状况.但再考虑其次个邮筒时，装信的状况要受到第一个邮筒装信状况的影响，特殊麻烦.,若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，其次封信仍有4种可能第九封信还有4种可能，由分步乘法计数原理可知，共有49种不同的放法.,题型三 两个计数原理的综合应用,【例3】（12分）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数.,思维启迪,先依据条件把“比2 000大的四位偶数”分类,选取千位上的数字选取百位上的数字,选取十位上的数字,解题示范,解 完成这件事有3类方法：,第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；其次步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有443=48个；4分,其次类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；其次步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步计数原理，这类数的个数有343=36个；8分,第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同其次类.10分,对以上三类结论用分类计数原理，可得所求无重复数字的比2 000大的四位偶数有443+343+343=120个.12分,在解决实际问题的过程中，并不确定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会实行分类的思想求.另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定.解题时常常是两个原理交叉在一起运用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，精确分步.,探究提高,知能迁移3 如图所示，将一个四棱锥,的每一个顶点染上一种颜色，并使,同一条棱上的两端异色，假如只有,5种颜色可供运用，求不同的染色,方法总数.,解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有543=60种染色方法.,当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，,若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则,D可染3或5，有2种染法；若C染5,则D可染3或4，有,2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种,染法，故不同的染色方法有607=420种.,方法二 以S、A、B、C、D依次分步染色.,第一步，S点染色，有5种方法；,其次步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；,第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3,种方法；,第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与,S、A、C相邻，须要针对A与C是否同色进行分类，,当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同,色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色,方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加,法计数原理得不同的染色方法共有543（1,3+22）=420种.,方法三 按所用颜色种数分类.,第一类，5种颜色全用，共有 种不同的方法；,其次类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色,（A与C，或B与D），共有2 种不同的方法；,第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，,共有 种不同的方法.,由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为,=420种.,方法与技巧,1.分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区分在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.,2.混合问题一般是先分类再分步.,3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.,4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清晰，便于探究规律.,思想方法 感悟提高,失误与防范,应用两种原理解题：,（1）分清要完成的事情是什么？,