第2节矩阵对策的平衡局势

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,节 矩阵对策的平衡局势,矩阵对策及其平衡局势,矩阵对策,平衡局势,矩阵对策的混合扩充,矩阵对策的简化,线性规划求解方法,矩阵对策,两人有限零和对策（也称矩阵对策）,有两个局中人，每个局中人的策略集合都是有限的，两个局中人的支付函数,H,1,H,2,具有性质,H,1,+,H,2,=0,。,局中人,：两人,策略集,：,S,1,=,1,2,m,，,S,2,=,1,2,n,局势集,：,S,1,S,2,=(,i,j,)|,i,=,1,2,m,，,j,=,1,2,n,支付函数,：,H,1,(,i,j,)=,a,ij,和,H,2,(,i,j,)=-,a,ij,矩阵表示,：,矩阵对策,续一,最稳妥策略,给定矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，,如果,maxmin,a,ij,=min,a,i,0,j,，,则局中人,1,的最稳妥策略为,i,0,。,如果,minmax,a,ij,=max,a,ij,0,，,则局中人,2,的最稳妥策略为,j,0,。,i j j,j i i,矩阵对策,续二,性质,1,给定矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，,maxmin,a,ij,a,i,0,j,0,minmax,a,ij,。,性质,2,给定矩阵对策，,如果,maxmin,a,ij,=,minmax,a,ij,，,则,maxmin,a,ij,=a,i,0,j,0,=minmax,a,ij,性质,3,给定矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，,maxmin,a,ij,=,minmax,a,ij,的充要条件是存在局势,(,i,j,),使得,a,ij,a,ij,a,ij,，,i,=,1,2,m,，,j,=,1,2,n,。,i j j i,i j j i,i j j i,i j j i,证明,平衡局势,定义,10.2.1,矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，如果存在局势矩阵对策,(,i,*,j,*,),满足等式,maxmin,a,ij,=,a,i*j*,=minmax,a,ij,则称,(,i,*,j,*,),是对策,的,平衡局势,，,i,*,j,*,分别是局中人,1,和局中人,2,的最优策略，,v=,a,i*j*,称为对策平衡局势的值。,定理,10.2.1,矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，存在平衡局势的充要条件是,a,ij*,a,i*j*,a,i*j,，,i,=,1,2,m,，,j,=,1,2,n,i j j i,解,矩阵对策的混合扩充,为了克服有些矩阵对策没有平衡局势的困难，我们将扩充这些矩阵对策，并且扩充以后，平衡局势存在的可能性就大得多。做这样的扩充：把每个局中人的策略集合,S,i,扩充为在集合,S,i,上的概率分布集合,S,i,*,，,i,=,1,2,。就是说，在进行多次对策时，不是每次都选择同一策略，而是以不同的概率选择每个策略支付函数是进行多次对策所得到支付的数学期望值，称这种扩充为,混合扩充,。,矩阵对策的混合扩充,续一,策略集,S,1,*,=,X,=(,x,1,x,2,x,m,)|,x,i,=,1,，,x,i,0,，,i=1,2,m,S,2,*,=,Y,=(,y,1,y,2,y,n,)|,y,j,=,1,，,y,j,0,，,j=1,2,n,支付函数,E,(,X,Y,)=,a,ij,x,i,y,j,混合扩充,*,=,S,1,*,S,2,*,E,(,x,y,),x,S,1,*,y,S,2,*,m,i=1,n,j=1,n,j=1,m,i=1,矩阵对策的混合扩充,续二,定义,10.2.2,矩阵对策,=,S,1,S,2,A,的混合扩充,*,，如果存在局势矩阵对策,(,x,*,y,*,),，使等式,maxmin,E,(,x,y,)=minmax,E,(,x,y,)=,E,(,x,*,y,*,)(10.2.5),成立，则称,(,x,*,y,*,),是对策,*,的混合平衡局势，,x,*,y,*,分别是局中人,1,和局中人,2,的最优策略，,E,(,x,*,y,*,),是混合平衡局势的值。,定理,10.2.2,矩阵对策,=,S,1,S,2,A,和混合扩充满足等式,(10.2.5),的充要条件是,E,(,x,y,*,),E,(,x,*,y,*,),E,(,x,*,y,),x,S,1,*,y,S,2,*,定理,10.2.3,矩阵对策在它的混合扩充中存在平衡局势。,x,S,1,*,y,S,2,*,y,S,2,*,x,S,1,*,矩阵对策的简化,定义,10.2.3,给定矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，,A,是,m,n,的矩阵，如果,a,kj,a,lj,j=1,2,n,则称局中人,1,的策略,k,优超于策略,l,。如果,a,ik,a,il,i=1,2,m,则称局中人,2,的策略,k,优超于策略,l,。,注,：局中人,1,的策略,k,优超于策略,l,则说明对局中人,1,而言当其采用策略,k,，无论局中人,2,采用何种策略，其获得都比采用策略,l,来的好。因而策略出现的概率为,0,，可以在支付矩阵中删除该策略对应的行。,例,线性规划求解方法,给定矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，由定理,10.2.2,，局势,(,x,*,y,*,),是,的平衡局势的充分必要条件是下列不等式组成立：,a,ij,y,j,*,a,ij,x,i,*,y,j,*,a,ij,x,i,*,i=1,2,m,j=1,2,n,定理,10.2.4,矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，如果存在实数,V,及局势,(,x,*,y,*,),，使下列不等式组成立：,a,ij,y,j,*,V,i=1,2,m,;,a,ij,x,i,*,V,j=1,2,n,则,(,x,*,y,*,),是平衡局势，,V,是值,E,(,x,y,*,),E,(,x,*,y,*,),E,(,x,*,y,),x,S,1,*,y,S,2,*,n,j=1,m,i=1,n,j=1,m,i=1,n,j=1,m,i=1,线性规划求解方法,续一,矩阵对策,=,S,1,S,2,A,，局势,(,x,*,y,*,),是混合平衡局势,a,ij,y,j,*,a,ij,x,i,*,y,j,*,a,ij,x,i,*,；,i=1,2,m,，,j=1,2,n,a,ij,y,j,*,V,a,ij,x,i,*,；,i=1,2,m,，,j=1,2,n,n,j=1,m,i=1,n,j=1,m,i=1,n,j=1,m,i=1,线性规划求解方法,和,和,续二,线性规划求解方法,定理,10.2.5,线性规划,(10.2.10),，,(10.2.11),有最优解,X,=(,x,1,x,2,x,m,),，,Y,=(,y,1,y,2,y,n,),，,并且,x,i,=,y,j,=1,/,V,，,X,*,=,V,(,x,1,x,2,x,m,),，,Y,*,=,V,(,y,1,y,2,y,n,),是矩阵对策,=,S,1,S,2,A,的平衡局势，,V,是值。,(10.2.10),(10.2.10),续三,例,