多自由度系统的振动课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,两自由度系统的运动微分方程,两自由度系统的模态,两自由度系统的强迫振动,多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动,第五章 多自由度系统的振动,5.1,两自由度系统的运动微分方程,1,、单自由度系统,描述系统运动状态只需一个广义坐标；,系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；,数学求解一个二阶常微分方程。,系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。,2,、多自由度系统,描述系统运动状态需多个广义坐标；,系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数）,数学求解需联立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解耦），然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态分析。,系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。,系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。,返回首页,两自由度系统的振动,多自由度系统的特点：,各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。,运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。,两自由度系统的振动,多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。,汽车左右对称，化为平面系统,两个自由度的振动系统,工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统；,两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。,研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。,5.1,两自由度系统的运动微分方程,例,4.1,图,a),是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系统，分别在,m,1,，,m,2,建立坐标系,O,1,x,1,，,O,2,x,2,以描述,m,1,，,m,2,的振动。坐标原点,O,1,，,O,2,分别取,m,1,，,m,2,的静平衡位置。两个坐标系的正向均向右。,5.1,两自由度系统的运动微分方程,设,m,1,，,m,2,沿各自的坐标正向分别移动了,x,1,，,x,2,画出隔离体如图,(b),所示。,f,1,(,t,),f,2,(,t,),5.1,两自由度系统的运动微分方程,根据牛顿第二定律可以得到,5.1,两自由度系统的运动微分方程,写成矩阵形式,5.1,两自由度系统的运动微分方程,均是对称矩阵,定义：系统的质量矩阵,刚度矩阵,阻尼矩阵,质量影响系数,阻尼影响系数,刚度影响系数,5.1,两自由度系统的运动微分方程,设位移向量,x,=,x,1,，,x,2,T,速度向量,激励向量,F,(,t,),=,F,1,(,t,),，,F,2,(,t,),T,加速度向量,两自由度系统的运动微分方程：,5.1,两自由度系统的运动微分方程,双质量弹簧系统的自由振动,略去激励力及其它阻尼。,两自由度的弹簧质量系统，两物体均作直线平移，,质量矩阵,刚度矩阵,5.1,两自由度系统的模态,13,假设系统的运动为,代入运动方程，两边左乘,u,T,即：,对于正定系统，,M,正定、,K,正定、因此,2,对于正定系统，只能出现如上式,x,(,t,),的同步运动，称为,主振动,。,5.1,两自由度系统的模态,代入运动,微分方程,上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：,5.1,两自由度系统的模态,化简可得代数齐次方程组,这就是两自由度系统的频率方程，也称,特征方程,主振动,5.1,两自由度系统的模态,对于两自由度系统，存在,2,个特征值和特征向量。,记：,u,（,i,）,为对应于特征值 的特征向量，称为,第,i,阶主振型（又称固有振型）,i,通常按升序排列，称其为,第,i,阶固有频率。,也被称为系统的,模态向量,。,特征方程,特征值,2,特征向量,u,对于两自由度系统，存在,2,个特征值和特征向量。,记：,u,（,i,）,为对应于特征值 的特征向量，称为,第,i,阶主振型（又称固有振型）,i,通常按升序排列，称其为,第,i,阶固有频率。,也被称为系统的,模态向量,。,每一个模态向量和相应的固有频率构成系统的一个,模态,。,和,1,组成第一阶模态,和,2,组成第二阶模态。,两自由度系统正好有两个模态，代表两种形式的同步运动。,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.2.3,系统的通解,为了书写简便，引入符号：,5.1,两自由度系统的模态,5.2.3,系统的通解,频率方程是,2,的二次代数方程，它的两个特征根为,弹簧刚度和质量恒为正数，,a,，,b,，,c,，,d,的值都是正数,和,都是实根,之间有两个确定的比值,。,19,固有振型,将特征值,和,分别代回方程组,任一式,对应于,和,，,振幅,A,1,和,A,2,这个比值称为振幅比,虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。,5.1,两自由度系统的模态,固有振型（主振型）,对应于,和,振幅,A,1,和,A,2,，,之间有两个确定的比值,。,两个质量任一瞬时的位移的比值,x,1,/,x,2,也同样是确定的，并且等于振幅比,在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比,确定,振幅比决定了整个系统的振动形态，称为,主振型,5.1,两自由度系统的模态,固有振型（主振型）,说明系统以频率,1,振动时，质量与总是按同一个方向运动，而以频率,2,振动时，则按相反方向运动。,5.1,两自由度系统的模态,主振动,系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的,主振动,第一阶主振动为,第二阶主振动为,系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。,5.1,两自由度系统的模态,例,1,试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量,k,1,k,2,k,3,k,，物体的质量,m,1,m,，,m,2,2,m,。,分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡,位置的距离,x,1,、,x,2,为广义坐标，两物体沿,x,方向的受力如图示，,它们的运动微分方程分别为,解,：（,1,）建立运动微分方程式,5.1,两自由度系统的模态,质量矩阵,刚度矩阵,将,M,和,K,代入频率方程，得,系统的第一阶和第二阶固有频率为,（,2,）解频率方程，求,i,5.1,两自由度系统的模态,将 、 分别代入，得,（,3,）求主振型,主振型为,节点,5.1,两自由度系统的模态,例,2,在上题所示系统中，已知,m,1,=,m,2,=,m,k,1,=,k,3,=,k, k,2,= 4,k,，求该系统对以下两组初始条件的响应：,（,1,）,t,0,，,x,10,1cm,，,;,（,2,）,t,0,，,x,10,1cm,， 。,将,M,、,K,代入频率方程，得,对应的两个主振型和振幅比为,解,：系统的质量矩阵和刚度矩阵为,5.1,两自由度系统的模态,将初始条件（,1,）代入式，解得,这表明，其响应为频率,1,、,2,的两种主振动的线性组合。,5.1,两自由度系统的模态,这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率,2,作谐振动。,再将初始条件（,2,）代入式，得,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,5.1,两自由度系统的模态,返回首页,Theory of Vibration with Applications,它的展式为,则特征方程可改写为,这就是特征方程的两组特征根,eigenvalues,and eigenvectoes,。,特征根,是两个大于零的不相等的正实根,两自由度系统的振动,固有频率与振型,正值、,小于,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1,、,2,就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率,1,称为,第一阶固有频率,；较高的频率,2,称为,第二阶固有频率,。由,式看出，固有频率,1,、,2,与运动的初始条件无关，仅与振动系,统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第一主振动,第二主振动,将固有频率,1,代入方程的解，得,振型,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第二主振型,第一主振,型,振幅比,the ratio of the amplitudes,由,得，两方程线性相关，,A,1,、,A,2,不独立。,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即,这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。,将,1,、,2,之值,代,入，得,这表明，在第一主振动中，质量,m,1,与,m,2,沿同一方向运动；在,第二主振动中,m,1,、,m,2,的运动方向则是相反的。系统作主振动,时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有,频率对应的主振型作简谐振动。,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即,由运动的初始条件确定。,写成矩阵形式,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,自由振动微分方程,取两物体为研究对象，物体离开其平衡位置的位移用,x,1,、,x,2,表示。在水平方向的受力如图示，由牛顿第二定律得,两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去激励力及其它阻尼。,两自由度系统的振动,无阻尼自由振动微分方程,返回首页,质量矩阵,刚度矩阵,质量影响系数,刚度影响系数,加速度列阵,坐标列阵,两自由度系统的振动,无阻尼自由振动微分方程,返回首页,根据微分方程的理论，设方程的解为,这组解可写成以下的矩阵形式,代入,微分方程,后,，,化简可得代数齐次方程组,两自由度系统的振动,无阻尼自由振动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,它的展式为,则特征方程可改写为,这就是特征方程的两组特征根,eigenvalues,and eigenvectoes,。,特征根,是两个大于零的不相等的正实根,两自由度系统的振动,固有频率与振型,正值、,小于,返回首页,Theory of Vibration with Applications,1,、,2,就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率,1,称为,第一阶固有频率,；较高的频率,2,称为,第二阶固有频率,。由,式看出，固有频率,1,、,2,与运动的初始条件无关，仅与振动系,统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第一主振动,第二主振动,将固有频率,1,代入方程的解，得,振型,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,第二主振型,第一主振,型,振幅比,the ratio of the amplitudes,由,得，两方程线性相关，,A,1,、,A,2,不独立。,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即,这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。,将,1,、,2,之值,代,入，得,这表明，在第一主振动中，质量,m,1,与,m,2,沿同一方向运动；在,第二主振动中,m,1,、,m,2,的运动方向则是相反的。系统作主振动,时，各点同时经过平衡位置，同时到达最远位置，以与固有,频率对应的主振型作简谐振动。,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即,由运动的初始条件确定。,写成矩阵形式,两自由度系统的振动,固有频率与振型,返回首页,Theory of Vibration with Applications,k,3,x,2,例,1,试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量,k,1,k,2,k,3,k,，物体的质量,m,1,m,，,m,2,2,m,。,分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡,位置的距离,x,1,、,x,2,为广义坐标，两物体沿,x,方向的受力如图示，,它们的运动微分方程分别为,解,：（,1,）建立运动微分方程式,两自由度系统的振动,例题,返回首页,Theory of Vibration with Applications,质量矩阵,刚度矩阵,将,M,和,K,代入频率方程，得,系统的第一阶和第二阶固有频率为,（,2,）解频率方程，求,i,两自由度系统的振动,例题,返回首页,Theory of Vibration with Applications,将 、 分别代入，得,（,3,）求主振型,主振型为,节点,两自由度系统的振动,例题,返回首页,Theory of Vibration with Applications,例,2,在上题所示系统中，已知,m,1,=,m,2,=,m,k,1,=,k,3,=,k, k,2,= 4,k,，求该系统对以下两组初始条件的响应：,（,1,）,t,0,，,x,10,1cm,，,;,（,2,）,t,0,，,x,10,1cm,， 。,将,M,、,K,代入频率方程，得,对应的两个主振型和振幅比为,解,：系统的质量矩阵和刚度矩阵为,两自由度系统的振动,例题,返回首页,Theory of Vibration with Applications,将初始条件（,1,）代入式，解得,这表明，其响应为频率,1,、,2,的两种主振动的线性组合。,两自由度系统的振动,例题,返回首页,Theory of Vibration with Applications,这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率,2,作谐振动。,再将初始条件（,2,）代入式，得,两自由度系统的振动,例题,返回首页,Theory of Vibration with Applications,不同坐标系下的运动微分方程,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,自由度与广义坐标,在任意坐标系中，,要确定一个物体的位置所确定,独立坐标,的数目，称为这个物体的,运动自由度,。比如：在空间作任意运动的质点具有三个自由度；确定一个刚体在空间的位置，则需要六个参数，因而刚体作一般运动时具有六个运动自由度。,为了完全确定物体的位置而选定的任意一组,彼此独立的坐标参数,，称为这个物体的,广义坐标,。在选定坐标时，除去直角坐标、之外，我们也可以用角度,、,及从物体中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位置。,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做,耦合,，具有耦合性质的系统叫,耦合系统,。,系统中是否存在耦合取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。通过坐标系的选择消除耦合，叫做,解耦,。,像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在,静力耦合或弹性耦合,。另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力,耦合或质量耦合,返回首页,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,Theory of Vibration with Applications,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,不同坐标系下的运动微分方程,系统的解耦,返回首页,Theory of Vibration with Applications,当同一方向两简谐振动合成时，若两个简谐分量的频率相差很小，就会出现振动能量在两个物体间相互传递的情况，这种情况称为拍振。耦合摆就是拍振现象的一个典型实例。,图示两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹簧刚度,k,很小，在一定的初始条件下，系统将作拍振。,两自由度系统的振动,耦合摆与拍振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,取 、 表示摆的角位移，逆时向转动为正，每个摆的受力如图。,得到摆做微小振动的微分方程,得到系统的第一阶和第二阶固有频率为,得到系统的第一阶和第二阶主振型为,两自由度系统的振动,耦合摆与拍振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,于是得到第一主振动,第二主振动,系统振动的一般解,两自由度系统的振动,耦合摆与拍振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,如果初始条件是：,t,= 0,时，,因此得到双摆作自由振动的规律,这时,1,、,2,相差很少，摆将出现拍振。将上式写成,如果弹簧的刚度,k,很小，因而,代入上式得到,两自由度系统的振动,耦合摆与拍振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,拍振周期,两自由度系统的振动,耦合摆与拍振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,两自由度系统的振动,耦合摆与拍振,耦合摆视频,习题,3.1,，,3.2,两自由度系统的振动,习题,系统的动能为,系统的能量耗散函数,系统的势能为,5.1,两自由度系统的模态,5.2.3,系统的通解,两自由度无阻尼自由振动系统的两个同步解的具体形式为,这组解可写成以下的矩阵形式,为了书写简便，引入符号：,这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包含,-bx,2,项，第二个方程中包含,-cx,1,项，称为耦合项。,如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由度系统自由振动的微分方程,5.1,两自由度系统的模态,5.2.3,系统的通解,固有频率,设两个质量按同样频率和相位角作简谐振动,其中振幅,A,1,与,A,2,，频率,和相位角 都为待定常数,代入运动微分方程组可得,不恒等于零,固有频率,这是,A,1,和,A,2,的线性齐次代数方程组,显然，,A,1,= A,2,=0,是它的解，但这只对应于系统处于静平衡的情况，不是我们所需的解,A,1,和,A,2,具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零,该方程唯一确定了频率,所需满足的条件，称为,频率方程,或,特征方程,固有频率,频率方程是,2,的二次代数方程，它的两个特征根为,弹簧刚度和质量恒为正数，,a,，,b,，,c,，,d,的值都是正数,和,都是实根,由于,ad,bc,和,都是正数,固有频率,和,是两个正实根。它们仅决定于系统本身的物理性质,，,称为振动系统的固有频率。较低的一个称为第一阶固有频率，简称,基频,。较高的一个称为第二阶固有频率。,固有振型,将特征值,和,分别代回方程组,任一式,对应于,和,，,振幅,A,1,和,A,2,之间有两个确定的比值,。,这个比值称为振幅比,虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。,固有振型（主振型）,对应于,和,振幅,A,1,和,A,2,，,之间有两个确定的比值,。,两个质量任一瞬时的位移的比值,x,1,/x,2,也同样是确定的，并且等于振幅比,在振动过程中系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定,振幅比决定了整个系统的振动形态，称为,主振型,与,1,对应的振幅比,1,称为第一阶主振型,与,2,对应的振幅比,2,称为第二阶主振型,固有振型（主振型）,说明系统以频率,1,振动时，质量与总是按同一个方向运动，而以频率,2,振动时，则按相反方向运动。,主振动,系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的,主振动,第一阶主振动为,第二阶主振动为,系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。,知识回顾,Knowledge Review,祝您成功！,