分岔与奇怪吸引子--课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,ppt课件,*,第二章,分岔与奇怪吸引子,1,ppt课件,第三节 流体不稳定性与洛伦兹方程,1.,流体中的不稳定性,2.,洛伦兹方程解的分岔,2,ppt课件,1900年,法国科学家贝纳德,(E.Benard,),做了一个著名的,对流实验,.,1.,流体中的不稳定性,在一水平容器中放一薄层液体，从底部徐徐均匀地加热，开始液体没有任何宏观的运动。当上下温差达到一定的程度，液体中突然出现规则的六边形对流图案,。,照片中每个小六角形中心较暗处液块向上浮，边缘较暗处液块向下沉。,当上下温差加大时，为什么对流不积微渐著，而是突然从无到有地产生,?,3,ppt课件,贝纳德对流,当上下温差加大时，对流突然从无到有产生。,贝纳德图案是对流与抑止因素,(,黏性和热扩散,),竞争的结果,。,4,ppt课件,这是现代用硅油做实验拍摄的照片。,5,ppt课件,贝纳德对流实验,理想,装置：,两块平行平板中间充满液体，,y,方向无限伸展，下底加热。,现象,：,实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。,发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，,温差,进一步增加时，规则的对流图形将受到破坏，进入到,湍流,状态。,分析：,随温度上升，流体经历由,稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔,过程。,1.,流体中的不稳定性,6,ppt课件,瑞利数,1916,年，英国学者,瑞利,对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数,R,(,瑞利数,),：,g-,为重力加速度，,a-,为热胀系数，,d-,两块板间距，,h-,粘滞系数，,D,T,-,扩散系数。,瑞利数,R,与温度差成正比，温度差加大时,R,值增加，有一临界值,R,C,，当,R,超过,R,C,时，流体出现翻动与对流，称为,贝纳德不稳定性,。临界值,R,C,为：,其中,k,是,x,方向环流波数,。,1.,流体中的不稳定性,7,ppt课件,倍周期分岔的实验检验,从分岔观点看，平板间液体随着温差升高出现的从静止到对流也是一种,分岔现象,。带着这样观点,利布沙伯,(Libchaber,-,低温物理学家,),于,1980,年用液氦重做了贝纳德对流实验。,实验装置：,一个很小的不锈钢液氦的容器，其尺寸为,3mm,1.5mm,1.25mm,。用高纯度铜做容器的底板，容器盖是用兰宝石做的，在兰宝石上嵌入两个精巧的温度计，用以监视两点的温度。,容器中的液氦对温度非常敏感，上下液面千分之一的温差出现对流。对流发生时液氦在中心升起，往两侧分流沿腔壁下降形成两个对流圈。,1.,流体中的不稳定性,8,ppt课件,利布沙伯通过对液氦对流信息的分析,发现,开始时只有对流翻动频率为,f,的基波峰，相应两个对流圈翻动。随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期,(,f,/2),谐波，接着又出现,f,/4,、,f,/8,等次谐波。实验结果显然是倍周期,分岔现象,。,倍周期分岔的实验检验,1.,流体中的不稳定性,9,ppt课件,倍周期分岔普遍性,利布沙伯的实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系统中也会出现。,后来,人们相继在,LCR,振荡、激光振荡、化学反应等许多过程中都发现了,倍周期分岔现象,，这表明倍周期分岔是存在于许多动力学过程中的一种普遍现象。,1.,流体中的不稳定性,10,ppt课件,洛伦兹的设想,2.,洛伦兹方程,11,ppt课件,洛伦兹的设想,60,年代初，美国数学家洛伦兹,(,E.Lorenz,),在气象部门工作。他把将大气对流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行,长期天气预报,。,2.,洛伦兹方程,12,ppt课件,洛伦兹方程,洛伦兹从贝纳德对流出发,，,利用流体力学中的纳维叶,-,斯托克斯,(,Navier,-Stokes,),方程、热传导方程和连续性方程，推导出描述大气对流的微分方程，即著名的洛伦兹方程。,x-,对流的翻动速率,;,y-,比例于上流与下流液体之间的温差,;,z-,是垂直方向的温度梯度,;,s-,无量纲因子,称为,Prandtl,数,;,b-,速度阻尼常数,;,r-,相对瑞利数,r=R/R,C,2.,洛伦兹方程,13,ppt课件,14,ppt课件,15,ppt课件,洛伦兹方程解的分岔,2.,洛伦兹方程,洛伦兹方程有三个平衡点,若,r,1,，只存在一个平衡点,x,=,y,=,z,=0,。此平衡点是洛伦兹方程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。,洛伦兹方程的平衡点随瑞利数,r,的增加而发生分裂，原来,稳定的平衡点变为不平衡状态,。,16,ppt课件,原点,的稳定性,r,1,，于是分支出两个新的平衡点,C,1,与,C,2,。说明在,r,=1,时系统将发生一次分岔，跨越,r,=1,意味着原点的吸引子丧失了稳定性，出现了局部的不稳定性。,这时在坐标原点出现一维不稳定的流形。这是一次叉式分岔。相应于在贝纳德实验中流体从静态走向对流翻动。,2.,洛伦兹方程,17,ppt课件,C,1,与,C,2,的稳定性,当,r,1,坐标原点为鞍点，两个新平衡点,C,1,与,C,2,是稳定的焦点，它们是,C,1,与,C,2,邻域螺旋线的吸引点，如图所示。,C,1,、,C,2,坐标为：,现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流,。,2.,洛伦兹方程,18,ppt课件,当,r,继续增加直到,r,=13.962,时，两个螺旋线外径会接触合并一起。,r,=,r,c,时两个平衡点,C,1,与,C,2,发展成了中心点,其邻域的相轨线是椭圆,.,r,r,c,时,C,1,与,C,2,成了不稳定的焦点,.,定态对流失稳,，,是不稳定的,.,这时将出现一次新分岔霍夫分岔,平衡点,C,1,与,C,2,失稳发展成为,奇怪吸引子,.,2.,洛伦兹方程,C,1,与,C,2,的稳定性,19,ppt课件,洛伦兹吸引子,r,=,r,c,时两个平衡点,C,1,与,C,2,发展成了中心点,其邻域的相轨线是椭圆,.,r,r,c,时将出现一次新分岔霍夫分岔,平衡点,C,1,与,C,2,失稳发展成为,奇怪吸引子,.,20,ppt课件,第四节 李雅普诺夫指数与奇怪吸引子,1.,李雅普诺夫指数,2.,埃侬映射与埃侬吸引子,3.,洛伦兹吸引子,21,ppt课件,1.,李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,吸引子,所谓吸引子是指相轨线经过长时间之后所表现的终极形态,.,它可能是稳定的平衡点或是周期性轨道,;,也可能是继续不断变化,没有明确规则或次序的有许多回转结构的曲线,.,前者也被称为,平庸吸引子,后者被称为,奇怪吸引子,.,22,ppt课件,1.,李雅普诺夫指数,奇怪吸引子,平庸吸引子,能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在,t,时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。,如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。,奇怪吸引子,相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。,23,ppt课件,考察平方映射的两个迭代运算,N,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,X,n,0.370,0.932,0.252,0.754,0.741,0.767,0.715,0.814,0.605,0.956,0.167,Y,n,0.380,0.942,0.217,0.680,0.870,0.451,0.990,0.038,0.147,0.501,0.999,取,m,=4,，,并,取有一点微小的差别的两个初始值,x,0,=0.370,与,y,0,=0.380,。,运算结果如表所列，,经过前第四次迭代,两个运算结果还没有显出太大差别,，但是从,第五次开始迭代结果的差别就非常显著,了。,奇怪吸引子,1.,李雅普诺夫指数,24,ppt课件,奇怪吸引子,取,m,=2.1,，,并,取有较大差别的三个初始值,x,01,=0.08,，,x,02,=0.12,x,03,=0.16,。,运算结果如左图，,经过五次迭代,三个运算结果趋于一致,，,045,.,取,m,=3.7,，,取差别很小两个初始值,x,01,=0.04,，,x,02,=0.05,。,运算结果如右图，,第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次迭代时很接近，但随后又快速分离开来。,1.,李雅普诺夫指数,25,ppt课件,两个系统：,设其初始值存在微小误差 ，经过一次迭代以后有：,式中,：,李雅普诺夫指数公式,1.,李雅普诺夫指数,26,ppt课件,由第二次迭代得：,经过第,n,次迭代得：,李雅普诺夫指数公式,1.,李雅普诺夫指数,27,ppt课件,可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 决定，它与初始值,x,0,有关。映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行,n,次迭代：,李雅普诺夫指数公式,1.,李雅普诺夫指数,每次迭代平均分离值为：,28,ppt课件,两个系统如初始存在微小误差，随时间,(,或迭代,),产生分离，分离程度常用,李雅普诺夫,(Lyapunov,),指数,来度量,它为几何平均值的对数：,李雅普诺夫指数公式,1.,李雅普诺夫指数,式中,x,n,为第,n,次迭代值。取,n,，得李雅普诺夫指数计算公式：,29,ppt课件,利用李雅普诺夫指数,l,，相空间内初始时刻的两点距离将随时间,(,迭代次数,),作指数分离：,在一维映射中,l,只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个,l,i,，而且沿相空间的不同方向，其,l,i,(,i,=1,2,),值一般也不同。,李雅普诺夫指数应用,1.,李雅普诺夫指数,经过,n,次迭代,30,ppt课件,设 为多维相空间中两点的初始距离，经,n,次迭代后两点的距离为：,式中指数,l,i,值可正可负。表示沿该方向扩展，表示沿该方向收缩。在经过一段时间,(,数次迭代,),以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的,圆演变为椭圆,。,1.,李雅普诺夫指数,李雅普诺夫指数应用,31,ppt课件,李雅普诺夫指数应用,1.,李雅普诺夫指数,稳定体系的相轨线趋向于某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点的情况，则体系是不稳定的。正的李雅普诺夫指数预示着系统的不稳定性。,研究表明，,系统只要有一个正值的李雅普诺夫指数就可出现混沌运动,。因此在判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，只需要检查它的最大李雅普诺夫指数是否为正值即可。,32,ppt课件,吸引子与李雅普诺夫指数,1.,李雅普诺夫指数,我们可按 的符号对吸引子的性质进行分类，对于三维空间，有以下几种吸引子类型：,1,、三个指数 、和 均为负值，相点收缩到一点，即系统存在不动点；,2,、三个指数中有一个为零，另外两个为负值，相点收缩在一个环上，即极限环；,3,、三个指数中有两个为零，一个为负值，相点收缩在一个二维的环面上，这是二维环面吸引子；,4,、三个指数中有一个为正值，此时系统将出现奇怪吸引子。,33,ppt课件,吸引子与李雅普诺夫指数,1.,李雅普诺夫指数,34,ppt课件,吸引子与李雅普诺夫指数,吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为,超混沌,。推广到高维空间后，由指数 的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：,吸引子类型,维数,不动点,D=0,极限环,D=1,二维环面,D=2,三维环面,D=2,奇怪吸引子（混沌）,D=23,（非整数）,超混沌,D=,高于,3,非整数,1.,李雅普诺夫指数,35,ppt课件,平方映射的,l,指数,利用计算程序可以方便地求得一维映射的,。,分析,：,由图可见平方映射的指数,随参数,值变化起伏很大，,有一个临界值,当 时指数变化但始