从繁衍到混沌

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,从繁衍到混沌,I 差分方程,生物的繁衍、气候的变化、时间的流失等等，无不可以归结为如下的数学表述：,t,时刻对于,t+,1时刻的作用和影响,考虑离散情形，产生了序列和差分,考虑连续情形，产生了函数和微（积）分方程,今天我们只谈差分。,构造差分方程模型通常有四步：,第一步：识别问题。,第二步：作出要包括哪些变量以及变量之间的关系的假设。,第三步：求解。,第四步：验证模型。,例1：司机的反应距离,每当发生紧急停车时，汽车司机一定会对紧急情况作出反应刹车，而且使汽车停下来。我们把刹车之前走过的距离称为,反应距离,，而把剩下的距离称为,刹车距离,。右表是一组试验数据,速度（km/h）,反应距离（m）,20,12,30,18,40,25,50,31,60,35,70,41,80,49,90,54,100,61,我们可以在时间反应距离坐标系上把表中的数据画出来。目测估计，它是一条直线。我们可以用最简单的方法来建立其模型，用第一个点和最后一个点求出斜率，为0.6。于是得到司机的反应距离模型为,其中,d,为反应距离，,v,为速度。,当然，我们可以用最小二乘法来确定一条离这些点都“近”的最佳直线，而得到数学意义上的最佳模型。,例2 分期付款模型,假设你使用信用卡付帐，信用卡的年利率为12（月利率为1），你每月付款为20元。,作以下三个假设：,H1：欠书款400元.,H2:欠计算机款2500元.,H3:欠服装款2000元.,假设 是第 个月开始时的欠款,那么,在假设H1-H3之下,分别为400,2500,2000.我们可以以下结论.,，那么当 时,即约两年时间还清欠款.,那么 单调上升,欠款越来越多,无法还清.,那么,。这说明你只要每月还20元,你的欠款永远保持不变.,5 10 15 20 25,月,本金,3000,2500,2000,1500,1000,500,不到2年还清贷款,欠款越还越多,只付利息，本金不变,综上所述,每月20元是“最少付款”,信用卡公司喜欢顾客支付“最少付款”。,平衡值、平衡解,例3 种群繁衍模型,我们来建立猫头鹰繁衍的三个模型。,模型1 无约束增长,只考虑出生和死亡。,假定在每一时间段里，出生数是当前种群总数的百分数 (b是一个正常数)。类似地，假定在每一时间段里，死亡数是当前种群总数的百分数 (d是一个正常数).那么种群总数的变化是出生数减去死亡数，即,其中 表示增长常数。,模型2 约束增长,假设栖息地可支持的猫头鹰的数量为M，M表示环境的容纳量，即如果猫头鹰数量超过M时，则增长率将是负的。此外，当接近M时，增长率应慢下来。这个模型之一就是：,其中,k,表示增长一个正常数。,模型3 竞争种群,现在假设在栖息地还有另一个种群。我们把n个时间段后这个竞争种群的数量记为 ,假设没有竞争种群时，两个种群都可以无约束增长，即,其中 表示当另一个种群不存在时的常数增长率，第二个种群出现的效果是降低第一个,种群的增长率，反过来也是如此。尽管有许多方式来对两个种群不利的相互作用进行建模，考虑下面的模型，其中增长率的减少与竞争种群的大小成比例：,正常数 表示竞争相互作用的相对强度。,例4 接触性传染病的传播,假设在某学院宿舍里有400名学生，而且一个或几个学生患了严重的感冒。设 表示n 时间段后感染上感冒的学生数，如果学生都是易感染这种疾病的，那么可以建立如下模型：,综上所述，我们的模型无外乎是如下函数的迭代：,由函数迭代生成的系统称为,动力系统,。由微分方程产生的系统称为,微分动力系统,。,Logistic方程：,它对应于受约束种群模型和传染病模型。,通过观察不同的k,b值，上述简单的迭代产生了许多奇妙的形态。导致了数学历史上最美妙的发现。,首先看几个例子。,5 10 15 20 25,10000,Logistic方程描述的种群模型联结图,1,10000,Logistic方程描述的种群模型联结图,平衡值、平衡解,1,Logistic方程描述的经济学模型联结图蛛网图,迭代过程是在抛物线与直线y=x之间形成一个个“阶梯”，这些阶梯沿直线上行，然后向内盘旋到达不动点（0.5，0.5）。,不动点,线性方程描述的经济学模型联结图蛛网图,实际上，对于logistic映射,当k3时，情况就完全不同了。产生了,周期性,和,混沌,区域。,Logistic方程描述的周期性蛛网图,第三项开始，数列交替地取0.7795和0.5130两个值，它收敛到一个正方形的环上。,2循环图,Logistic方程描述的周期性蛛网图,2循环图,Logistic方程描述的周期性蛛网图,4循环图,Logistic方程描述的周期性蛛网图,混沌图,此时迭代完全没有模式和规律，迭代的继续将导致如下结果：它将覆盖第一象限中抛物线周围的方形区域。,实际上，当k3时，一条曲线分成两条，出现了一个分岔。随着k的增加，分岔加倍，在加倍，我们看到了一个美丽的树形结构，称为无花果树。在k=3.58附近，无花果树终于分成了多个分支，扩展为混沌吸引子带，分岔图上布满了无规则点。,对k=3.58以上的混沌区域进行仔细分析竭示了惊人的事情：在混沌行为背后隐藏着许多有趣的现象。从任何一个下无花果树的分岔开始，最终都会以混沌带结束。也就是说，每一个无花果的分岔中都包含了无数的更小的分岔，这个过程将以越来越小的方式无限地进行下去。,实际上，每一个分岔都是整个图形的小的复制品，包含了完全相同的结构。这就是自相似性，典型的分形行为！,因此我们可以得到如下启示：,确定的方程可以有混乱的输出；,混沌和分形奇妙地联系了起来。,系统,敏感地,依赖初值条件满足这个条件的差分方程称为是,混沌,的。,混沌学告诉我们，简单的系统可能产生复杂的行为，激烈的变化不一定有激烈的原因。混沌学中著名的“蝴蝶效应”：,一只小小的蝴蝶在巴西上空煽动翅膀，可能在一个月后的美国得克萨斯州会引起一场风暴,。就是一个很好的比喻。,表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律，混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。,数学的分析在于发现客观事物的规律和不规律，数学的可预见性已经成为科学、社会、经济发展的必不可少的支撑力量。忽视数学成果，忽视数学的警告，人类可能将“自食其果”。现今的DNA技术，生殖技术等等，实际上就是生物重组和繁衍。混沌学已经给出了其不可预测性和复杂性。,电影“,侏罗纪公园,”中有一段情节：,从恐龙化石中的DNA克隆后正在孵化一只恐龙，电影中一位数学家提出警告：克隆恐龙并控制其生育的企图必将失败。,它从研究简单的多的情形（上述例子）直觉地理解到存在着使事情“失去控制”的实际机会，即使这些事情显得简单。,混沌的概念在我国自古就有了。,易经,说：“混沌者，言万物想混成而未相离”。,西游记,一开头就说：,混沌未分天地乱，茫茫渺渺无人见。,自从盘古破鸿蒙，开辟从兹清浊辨。,指的是混沌先于宇宙，混沌孕育宇宙，宇宙出自混沌。,由此可见，古人已经发现：确定性系统中有随机现象；随机现象中有确定性规律。,20世纪20年代，法国数学家茹利亚（G.Julia）和法都（M.P.Fatou）开始研究复动力系统。他们研究了形如,的映射。这个系统可以看作Logistic映射的复模拟。C是复参数，相当于Logistic映射的参数k。对于不同初始值，迭代,复动力系统,产生异常复杂的状况，但却无比美丽。但是茹利亚和法都知道它们的复杂性，但是确无法看到真实图形。借助现代计算机技术，可以把所谓的茹利亚集画出来。其中有海马形、兔形、甲虫形、宇宙尘形、玩具风车形，等等。而且，茹利亚集的边界表现出了分形曲线的特征。,多种群繁衍,一个例子：,方程组,表示了一个二维动力系统。图中表明了存在,奇异吸引子,。科学家认为，奇异吸引子的研究有助于我们了解像气候那样的动力系统。,右图表示上述二维动力系统从给定点出发，随着时间的推移趋于平衡点,E,的过程。,兔子与狐狸种群模型,假设没有狐狸的情况下，现有兔子的数量R一年自然增长10，于是下一年的兔子数R服从增长规律R=1.1R。又设没有兔子的情况下，现有狐狸的数量F,减少15，于是F=0.85F。然而，当狐狸和兔子处于同一栖息地时，狐狸吃兔子，兔子数减少，狐狸数增加。我们的模型是：,即,矩阵A的特征值和特征向量是,那么迭代,效果为,这表明：兔子与狐狸由一个稳态种群（6，4）和一个缓慢衰减种群(0.95),n,(4,4)组成。,更一般地，我们可以得到,从而表明，特征根1对应于稳定种群，特征根1,对应于无限发展种群,特征根1对应于消失种群.,