函数的单调性公开课课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.1,函数的单调性,教师：罗华荣,德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究,.,他经过测试，得到了以下一些数据：,测试时间,t,刚记忆完毕,20,分钟后,60,分钟后,8-9,小时后,1,天后,2,天后,6,天后,一个月后,记忆保留量,y,(,百分比,),100,58.2,44.2,35.8,33.7,27.8,25.4,21.1,以上数据表明，记忆保留量,y,是,时间,t,的函数,.,艾宾浩斯根据这,些数据描绘出了著名的,“,艾宾浩,斯,遗忘曲线,”,如图,.,1,2,3,t,y,o,20,40,60,80,100,思考,1:,观察,“,艾宾浩斯遗忘曲线,”,，你能发现什么规律？,t,y,o,20,40,60,80,100,1,2,3,函数的单调性,思考,2:,我们发现随着时间,t,的增加，记忆保留量,y,在不,断减少；从图象上来看，,从左至右图象是在逐渐下降,的。,x,y,o,-1,x,O,y,1,1,2,4,-1,-2,1,1.,从左至右图象,2.,在区间,(-,+),上，随着,x,的增大，,f(x),的值随着,2.(0,+,),上,从左至右图象,上升,，,当,x,增大,时,f(x),随着,增大,1,上升,增大,下降,1.(,-,0,上,从左至右图象,当,x,增大,时,f(x),随着,减小,思考,1,：画出下列函数的图象，根据图象思考当,自变量,x,的值增大时,相应函数值是如何变化的？,x,y,o,-1,x,O,y,1,1,2,4,-1,-2,1,1,在某一区间内，,当,x,的值增大时,函数值,y,也增大,图象在该区间内逐渐上升；,当,x,的值增大时,函数值,y,反而减小,图象在该区间内逐渐下降。,函数的这种性质称为,函数的单调性,思考,2,：,通过上面的观察，如何用,图象上动点,P,（,x,，,y,）的横、纵坐标的变化来说明上升或下降趋势？,思考,3,：如何用数学符号语言定义函数所具有的这种性质？,图象在,区间,D,逐渐上升,区间,D,内,随着,x,的增大，,y,也增大,x,0,1,2,1,y,方案,1,：在区间（,0,),上取自变量,1,，,2,12,f,(,1,),f,(,2,),f(x),在,(0,+),上,图象逐渐 上升,方案二：,对区间,D,内,任意,x,1,，,x,2,，,当,x,1,x,2,时，,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),图象在,区间,D,逐渐上升,区间,D,内,随着,x,的增大，,y,也增大,x,0,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),方案,1,：在区间（,0,),上取自变量,1,，,2,12,f,(,1,),f,(,2,),f(x),在,(0,+),上,图象逐渐 上升,方案,2,:(0,+),取无数组自变量，验证随着,x,的增大，,f(x),也增大。,方案,3:,在,(0,+,),内取任意的,x,1,，,x,2,且,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),y,对区间,D,内,x,1,，,x,2,，,当,x,1,x,2,时，,有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),都,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,I,区间,D,I.,定义,任意,如果对于,区间,D,上的,任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，,当,x,1,x,2,时，,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,D,称为,f,(,x,),的,单调,增区间,.,那么就说,f,(,x,),在区间,D,上,是单调,增函数,，,区间,D,内,随着,x,的增大，,y,也增大,图象在,区间,D,逐渐上升,0,x,1,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,2,1,y,那么就说在,f,(,x,),这个区间上是单调,减,函数,，,D,称为,f,(,x,),的,单调,减,区间,.,O,x,y,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),类比单调增函数的研究方法定义单调减函数,.,x,O,y,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,I,区间,D,I.,如果对于属于定义域,I,内,某个区间,D,上,的,任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，,设函数,y,=,f,(,x,),的定义域为,I,区间,D,I.,如果对于属于定义域,I,内,某个区间,D,上,的,任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，,那么就说在,f,(,x,),这个区间上是单调,增,函数,，,D,称为,f,(,x,),的,单调 区间,.,增,当,x,1,x,2,时，,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,当,x,1,单调区间,如果函数,y,=,f,(,x,),在区间,D,是单调增函数或单调减函数，那么就说函数,y,=,f,(,x,),在区间,D,上具有单调性。,（,1,）函数单调性是针对某个,区间,而言的，是一个,局部性质,;,注意：,判断,1,：,函数,f,(,x,)=,x,2,在 是单调增函数；,x,y,o,（,2,）,x,1,x,2,取值的,任意,性,判断,2,：,定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(2),f,(1),，则,函数,f,(,x,),在,R,上是增函数；,y,x,O,1,2,f,(1),f,(2),解,:,函数,y=,f,(,x,),的单调区间有,5,2,）,2,1),，,1,，,3),3,，,5.,例,1,.,如图是定义在闭区间,5,5,上的函数,y,=,f,(,x,),的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？,其中,y=,f,(,x,),在区间,2,，,1),，,3,，,5,上是增函数；,说明,:1.,区间端点处若有定义写开写闭均可,.,2.,图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况,在区间,5,，,2,），,1,，,3),上是减函数,.,-,4,3,2,1,5,4,3,1,2,-,1,-,2,-,1,-,5,-,3,-,2,x,y,O,练一练,根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数,.,2,5,4,4,x,y,O,-,1,3,2,1,解,:,函数,y=,f,(,x,),的单调区间有,1,0,）,0,2),，,2,，,4),4,，,5.,其中,y=,f,(,x,),在区间,0,，,2),，,4,，,5,上是增函数,；,在区间,1,，,0,），,2,，,4),上是减函数,.,例,2,证明函数,f,(,x,),=,3,x,2,在区间,R,上是增函数,例,2,证明函数,f,(,x,),=,3,x,2,在区间,R,上是增函数,设,x,1,，,x,2,是,R,上任意两个实数，且,x,1,x,2,证明：,则,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,),=,(3,x,1,+2),-,(3,x,2,+2),=3,（,x,1,-x,2,）,由,x,1,x,2,，得,x,1,-x,2,0,于是,f,(,x,1,),-,f,(,x,2,),0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),所以,f,(,x,)=3,x,+2,在,R,上是增函数,作差,设值,变形,定号,下结论,用定义证明函数单调性的四步骤,：,（,1,）设值,:,在所给区间上任意设两个实 数,（,2,）作差,（,3,）变形,作差,：常通过,“,因式分解,”,、,“,通分,”,、,“,配方,”,等,手段将差式变形为因式乘积或平方和形式,判断 的符号,（,4,）结论,:,并作出单调性的结论,设量,判断差符号,作差变形,下结论,课堂小结,1,.,两个定义：增函数、减函数的定义,；,(,定义法,),证明函数单调性，步骤,:,图象法判断函数的单调性,：,增,函数的图象从左到右,减,函数的图象,从左到右,上升,下降,3.,一个数学思想：数形结合,2,：两种方法,例,2,、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积,V,减小时，压强,p,将增大。试用函数的单调性证明之。,证明,:,1,2,3,4,1.,设值,;,2.,作差变形,;,3.,定号,;,4.,下结论,？,画出函数 图象，写出定义域并写出单调区间,：,x,y,_,讨论：,根据函数单调性的定义,拓展探究,y,O,x,在,(,0,+,),上,任取,x,1,、,x,2,当,x,1,对区间,D,内,任意,x,1,，,x,2,，,当,x,1,x,2,时，,都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),图象在,区间,D,逐渐上升,区间,D,内,随着,x,的增大，,y,也增大,x,0,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),1,2,1,方案,1,：在区间（,0,),上取自变量,1,，,2,12,f,(,1,),f,(,2,),f(x),在,(0,+),上,图象逐渐 上升,方案,2,:(0,+),取无数组自变量，验证随着,x,的增大，,f(x),也增大。,方案,3:,在,(0,+,),内取任意的,x,1,，,x,2,且,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),y,