资源描述
,考纲要求,-,*,-,知识梳理,-,*,-,双击自测,-,*,-,核心考点,-,*,-,学科素养,-,*,-,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,6.2,等差数列及其前,n,项和,考纲要求,:1,.,理解等差数列的概念,.,2,.,掌握等差数列的通项公式与前,n,项和公式,.,3,.,能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题,.,4,.,了解等差数列与一次函数的关系,.,2,1,.,等差数列,(1),定义,:,如果一个数列从第,2,项起,每一项与前一项的差是,同一个常数,那么这个数列就为等差数列,这个常数为等差数列的,公差,公差通常用字母,d,表示,.,(2),数学语言,:,a,n+,1,-a,n,=d,(,n,N,+,d,为常数,),或,a,n,-a,n-,1,=d,(,n,2,d,为常数,),.,(3),等差中项,:,如果在,a,与,b,中间插入一个数,A,使,a,A,b,成,等差数列,那么,A,叫作,a,与,b,的等差中项,即,.,2,.,等差数列的通项公式,(1),通项公式,:,若等差数列,a,n,的首项是,a,1,公差是,d,则其通项公式为,a,n,=,a,1,+,(,n-,1),d,.,(2),通项公式的推广,:,a,n,=a,m,+,(,n-m,),d,(,m,n,N,+,),.,3,4,5,.,等差数列的前,n,项和公式与函数的关系,(2),数列,a,n,是等差数列,S,n,=An,2,+Bn,(,A,B,为常数,),.,6,.,等差数列的前,n,项和的最值,在等差数列,a,n,中,a,1,0,d,0,则,S,n,存在最,大,值,;,若,a,1,0,则,S,n,存在最,小,值,.,5,1,2,3,4,5,1,.,下列结论正确的打,“,”,错误的打,“,”,.,(1),若一个数列从第,2,项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列,.,(,),(2),数列,a,n,为等差数列的充要条件是其通项公式为,n,的一次函数,.,(,),(3),数列,a,n,为等差数列的充要条件是对任意,n,N,+,都有,2,a,n+,1,=a,n,+a,n+,2,.,(,),(4),等差数列,a,n,的单调性是由公差,d,决定的,.,(,),(5),等差数列的前,n,项和公式是常数项为,0,的二次函数,.,(,),6,1,2,3,4,5,2,.,在等差数列,a,n,中,若,a,2,=,4,a,4,=,2,则,a,6,=,(,),A,.-,1B,.,0C,.,1D,.,6,答案,解析,解析,关闭,a,n,是等差数列,2,a,4,=a,2,+a,6,a,6,=,2,a,4,-a,2,=,2,2,-,4,=,0,.,答案,解析,关闭,B,7,1,2,3,4,5,3.,(2015,课标全国,文,5),设,S,n,是等差数列,a,n,的前,n,项和,若,a,1,+a,3,+a,5,=,3,则,S,5,=,(,),A.5B.7,C.9D.11,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,8,1,2,3,4,5,4,.,(2015,陕西,文,13),中位数为,1 010,的一组数构成等差数列,其末项为,2 015,则该数列的首项为,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,9,1,2,3,4,5,5,.,在小于,100,的正整数中,被,7,除余,2,的数的和为,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,10,1,2,3,4,5,自测点评,1,.,用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词,:“,从第,2,项起,”“,每一项与它的前一项的差,”“,同一个常数,”,.,2,.,等差数列与函数的区别,:,当公差,d,0,时,等差数列的通项公式是,n,的一次函数,;,当公差,d=,0,时,a,n,为常数,.,3,.,公差不为,0,的等差数列的前,n,项和公式是,n,的二次函数,且常数项为,0,.,4,.,等差数列的前,n,项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式,.,11,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,1,等差数列中基本量的求解,例,1,(1),(2015,课标全国,文,7),已知,a,n,是公差为,1,的等差数列,S,n,为,a,n,的前,n,项和,.,若,S,8,=,4,S,4,则,a,10,=,(,),答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,12,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2),设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,若,S,m-,1,=-,2,S,m,=,0,S,m+,1,=,3,则,m,等于,(,),A.3B.4C.5D.6,答案,:,C,13,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,14,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,求等差数列基本量的一般方法是什么,?,解题心得,:,1,.,等差数列运算问题的一般求法是设出首项,a,1,和公差,d,然后由通项公式或前,n,项和公式转化为方程,(,组,),求解,.,2,.,等差数列的通项公式及前,n,项和公式共涉及五个量,a,1,a,n,d,n,S,n,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想,.,3,.,减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设三个数为,a-d,a,a+d,;,若四个数成等差数列,可设四个数为,a-,3,d,a-d,a+d,a+,3,d.,15,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,1,(1),等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,若,a,1,=,2,S,3,=,12,则,a,6,等于,(,),A.8B.10C.12D.14,答案,解析,解析,关闭,设等差数列,a,n,的公差为,d,则,S,3,=,3,a,1,+,3,d,12,=,3,2,+,3,d,解得,d=,2,a,6,=a,1,+,5,d=,2,+,5,2,=,12,故选,C.,答案,解析,关闭,C,16,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2),设,S,n,为等差数列,a,n,的前,n,项和,a,12,=-,8,S,9,=-,9,则,S,16,=,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,17,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,2,等差数列的判定与证明,例,2,数列,a,n,满足,a,1,=,1,a,2,=,2,a,n+,2,=,2,a,n+,1,-a,n,+,2,.,(1),设,b,n,=a,n+,1,-a,n,证明,b,n,是等差数列,;,(2),求,a,n,的通项公式,.,答案,答案,关闭,18,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些,?,解题心得,:,1,.,等差数列的四种判断方法,:,(1),定义法,:,a,n+,1,-a,n,=d,(,d,是常数,),a,n,是等差数列,.,(2),等差中项法,:2,a,n+,1,=a,n,+a,n+,2,(,n,N,*,),a,n,是等差数列,.,(3),通项公式,:,a,n,=pn+q,(,p,q,为常数,),a,n,是等差数列,.,(4),前,n,项和公式,:,S,n,=An,2,+Bn,(,A,B,为常数,),a,n,是等差数列,.,2,.,若证明一个数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可,.,19,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,2,若数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,且满足,a,n,+,2,S,n,S,n-,1,=,0(,n,2),a,1,= .,(1),求证,:,成等差数列,;,(2),求数列,a,n,的通项公式,.,答案,答案,关闭,20,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,3,等差数列性质的应用,(,多维探究,),类型一,等差数列项的性质的应用,例,3,在等差数列,a,n,中,若,a,3,+a,4,+a,5,+a,6,+a,7,=,25,则,a,2,+a,8,=,.,思考,:,本例题只有一个已知条件,如何快捷地求出结果,?,答案,解析,解析,关闭,根据等差数列的性质,得,a,3,+a,4,+a,5,+a,6,+a,7,=,5,a,5,=,25,解得,a,5,=,5,.,又,a,2,+a,8,=,2,a,5,a,2,+a,8,=,10,.,答案,解析,关闭,10,21,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,类型二,等差数列前,n,项和的性质的应用,例,4,在等差数列,a,n,中,前,m,项的和为,30,前,2,m,项的和为,100,则前,3,m,项的和为,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,22,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,本例题应用什么性质求解比较简便,?,解题心得,:,1,.,利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想,应用时常将,a,n,+a,m,=,2,a,p,(,m+n=,2,p,m,n,p,N,*,),与,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,(,m+n=p+q,m,n,p,q,N,+,),相结合,可减少运算量,.,2,.,在等差数列,a,n,中,依据题意应用其前,n,项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有,:,在等差数列,a,n,中,数列,S,m,也是等差数列,且有,S,2,n,=n,(,a,1,+a,2,n,),=,=n,(,a,n,+a,n+,1,);,.,23,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,3,(1)(2015,广州模拟,),等差数列,a,n,前,17,项和,S,17,=,51,则,a,5,-a,7,+a,9,-a,11,+a,13,等于,(,),A.3B.6C.17D.51,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,24,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2),已知等差数列,a,n,的前四项和为,124,后四项和为,156,各项和为,210,则此等差数列的项数是,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,25,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(3),已知在等差数列,a,n,中,其前,n,项和为,S,n,S,3,=,9,S,6,=,36,则,a,7,+a,8,+a,9,=,.,答案,解析,解析,关闭,a,n,为等差数列,S,3,S,6,-S,3,S,9,-S,6,成等差数列,.,2(,S,6,-S,3,),=S,3,+,(,S,9,-S,6,),.,a,7,+a,8,+a,9,=S,9,-S,6,=,2(,S,6,-S,3,),-S,3,=,2(36,-,9),-,9,=,45,.,答案,解析,关闭,45,26,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,考点,4,等差数列前,n,项和的最值问题,例,5,在等差数列,a,n,中,已知,a,1,=,20,前,n,项和为,S,n,且,S,10,=S,15,求当,n,取何值时,S,n,取得最大值,并求出它的最大值,.,27,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,28,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,思考,:,求等差数列前,n,项和的最值有哪些方法,?,解题心得,:,求等差数列前,n,项和,S,n,最值的两种方法,:,(1),函数法,:,将等差数列的前,n,项和,S,n,=An,2,+Bn,(,A,B,为常数,),看做二次函数,根据二次函数的性质求最值,.,(2),邻项变号法,:,利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当,a,1,0,d,0,时,满足,的项数,m,使得,S,n,取得最大值为,S,m,;,当,a,1,0,时,满足,的项数,m,使得,S,n,取得最小值为,S,m,.,利用性质求出其正负转折项,便可求得前,n,项和的最值,.,29,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,对点训练,4,(1),等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,已知,a,5,+a,7,=,4,a,6,+a,8,=-,2,则当,S,n,取最大值时,n,的值是,(,),A.5B.6C.7D.8,答案,解析,解析,关闭,依题意得,2,a,6,=,4,2,a,7,=-,2,a,6,=,2,0,a,7,=-,1,0;,又数列,a,n,是等差数列,因此在该数列中,前,6,项均为正数,自第,7,项起以后各项均为负数,于是当,S,n,取最大值时,n=,6,选,B.,答案,解析,关闭,B,30,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(2),设数列,a,n,是公差,d,0,的等差数列,S,n,为前,n,项和,若,S,6,=,5,a,1,+,10,d,则,S,n,取最大值时,n,的值为,(,),A.5B.6C.5,或,6D.11,答案,解析,解析,关闭,由题意得,S,6,=,6,a,1,+,15,d=,5,a,1,+,10,d,a,6,=,0,故当,n=,5,或,6,时,S,n,最大,选,C.,答案,解析,关闭,C,31,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,(3),已知等差数列,a,n,的首项,a,1,=,20,公差,d=-,2,则前,n,项和,S,n,的最大值为,.,答案,解析,解析,关闭,答案,解析,关闭,32,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,1,.,等差数列的判断方法,:,(1),定义法,;,(2),等差中项法,;,(3),利用通项公式判断,;,(4),利用前,n,项和公式判断,.,2,.,公差不为,0,的等差数列的前,n,项和公式是,n,的二次函数,且常数项为,0,.,若某数列的前,n,项和公式是常数项不为,0,的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第,2,项起成等差数列,.,3,.,方程思想和化归思想,:,在解有关等差数列的问题时,可以考虑化归为,a,1,和,d,等基本量,通过建立方程,(,组,),获得解,.,33,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,知识方法,易错易混,1,.,当公差,d,0,时,等差数列的通项公式是,n,的一次函数,;,当公差,d=,0,时,a,n,为常数,.,2,.,注意利用,“,a,n,-a,n-,1,=d,”,时加上条件,“,n,2”;,否则,当,n=,1,时,a,0,无定义,.,34,思想方法,整体思想在等差数列中的应用,整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法,.,从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性,.,整体思想的主要表现形式有,:,整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等,.,在等差数列中,若要求的,S,n,所需要的条件未知或不易求出时,可以考虑整体代入,.,35,典例,1,已知等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,若,a,3,+a,4,+a,5,=,12,则,S,7,的值为,.,答案,:,28,解析,:,设数列,a,n,的首项为,a,1,公差为,d.,a,3,+a,5,=,2,a,4,由,a,3,+a,4,+a,5,=,12,得,3,a,4,=,12,即,a,4,=,4,.,a,1,+,3,d=,4,故,S,7,=,7,a,1,+ d=,7(,a,1,+,3,d,),=,7,4,=,28,.,36,典例,2,在等差数列,a,n,中,其前,n,项和为,S,n,.,已知,S,n,=m,S,m,=n,(,m,n,),则,S,m+n,=,.,答案,:,-,(,m+n,),解析,:,设,a,n,的公差为,d,则由,S,n,=m,S,m,=n,37,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！,
展开阅读全文